[論文レビュー] Compressive Space-Time Galerkin Discretizations of Parabolic Partial Differential Equations

Stig Larsson, Christoph Schwab|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、時間微分が1/2次の分数級微分に基づく変分法を用いた、線形放物型PDEの圧縮空間時間ガラーキン離散化を提案する。スパーステンソル積空間上での離散的インフラ・サブ条件を確立し、楕円型問題の最良N項近似と比較して、対数的項を除き最適収束速度を示す。条件数は一様に有界であり、負の順位のソボレフ空間の安定性を要件としない適応的アプローチによる安定性を保証する。

ABSTRACT

We study linear parabolic initial-value problems in a space-time variational formulation based on fractional calculus. This formulation uses "time derivatives of order one half" on the bi-infinite time axis. We show that for linear, parabolic initial-boundary value problems on $(0,\infty)$, the corresponding bilinear form admits an inf-sup condition with sparse tensor product trial and test function spaces. We deduce optimality of compressive, space-time Galerkin discretizations, where stability of Galerkin approximations is implied by the well-posedness of the parabolic operator equation. The variational setting adopted here admits more general Riesz bases than previous work; in particular, no stability in negative order Sobolev spaces on the spatial or temporal domains is required of the Riesz bases accommodated by the present formulation. The trial and test spaces are based on Sobolev spaces of equal order $1/2$ with respect to the temporal variable. Sparse tensor products of multi-level decompositions of the spatial and temporal spaces in Galerkin discretizations lead to large, non-symmetric linear systems of equations. We prove that their condition numbers are uniformly bounded with respect to the discretization level. In terms of the total number of degrees of freedom, the convergence orders equal, up to logarithmic terms, those of best $N$-term approximations of solutions of the corresponding elliptic problems.

研究の動機と目的

• 線形放物型初期境界値問題に対する安定的かつ圧縮可能な空間時間ガラーキン離散化を開発すること。
• 空間的または時間的リエス基底の負の順位のソボレフ空間における安定性を要件としている従来手法の制限を克服すること。
• 空間時間における適応的・圧縮的ガラーキン近似の最適収束速度を確立し、対応する楕円型問題の最良N項近似速度に一致させること。
• スパーステンソル積離散化において、空間的リエス基底のV*における安定性に依存せずに、条件数の一様有界性を示すこと。
• 導出された大規模非対称線形方程式系に対する適応ウェーブレットソルバのs*-計算可能性と最適性を示すこと。

提案手法

• 時間微分が1/2次の分数級微分である、双無限時間軸上での変分法に基づく空間時間問題の定式化を行う。
• ボッホナー空間と補間理論を用いて、古典的定式化の中間の解空間を定義し、適切な定義と一意解の存在を保証する。
• 空間的および時間的多レベルウェーブレット展開のスパーステンソル積空間を用いて、圧縮ガラーキン離散化を構築する。
• 時間的および空間的変数の両方において、H^{1/2}空間におけるリエス基底を用いたペトロフ・ガラーキン定式化の離散的インフラ・サブ条件を確立する。
• 参考文献[6]の適応的ウェーブレット技術を応用し、最適な複雑度で得られる双無限行列問題を解く。ここでは「適応による安定性」を活用する。
• ウェーブレット基底に対する弱い仮定の下で、システム行列およびその成分（分数級時間微分の質量行列と剛性行列）のs*-計算可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的および空間的Sobolev空間の等価順位を持つ対称的空間時間変分定式化は、リエス基底の負の順位のソボレフ空間安定性を要件としないで、放物型PDEの安定的かつ最適なガラーキン離散化を保証できるか？
• RQ2 圧縮空間時間ガラーキン離散化の収束速度は、対応する楕円型問題の最良N項近似と比較してどの程度か？
• RQ3 スパーステンソル積空間における、大規模非対称線形方程式系の条件数は、離散化レベルに依存せずに一様に有界であるか？
• RQ4 適応的ウェーブレット法を用いて、システム行列およびその成分を効率的かつ安定的に計算できるか？
• RQ5 適応的ウェーブレットソルバを用いて離散問題を解く際の計算複雑度は何か？また、滑らかな解に対して最適収束を達成するか？

主な発見

• 提案された空間時間変分定式化は、古典的定式化の中間のボッホナー空間に一意解を有し、適切な定義を保証する。
• スパーステンソル積ガラーキン離散化において、離散的インフラ・サブ条件が成立し、V*におけるリエス基底の安定性を要件としない安定性を保証する。
• 圧縮ガラーキン離散化の収束速度は、対応する楕円型問題の最良N項近似速度と、対数的項を除き一致する。
• 導出された大規模非対称線形方程式系の条件数は、離散化レベルに依存せずに一様に有界である。
• 適応的ウェーブレットソルバは最適な複雑度を達成する：許容誤差εに対して必要な演算回数および記憶量はO(ε^(-1/s))に比例し、定数は空間的ウェーブレット基底のリエス定数および許容性定数にのみ依存する。
• 弱い仮定の下で、システム行列およびその成分（分数級時間微分の質量行列と剛性行列）はs*-計算可能であり、効率的なアルゴリズムによる解法が可能となる。