[論文レビュー] Comptage des systèmes locaux $\ell$-adiques sur une courbe

Hongjie Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体上の滑らかで射影的で幾何学的に連結な曲線上の固定ランクの無限小ℓ-進局所系の数を数えるための、Lefschetz型の不動点公式を確立する。これはDrinfeldのランク2結果を一般化し、Deligneの予想を証明する。Langlands対応、Arthurの跡公式、安定Higgsバンドルのモジュライ空間上のFq-有理点の数との関係を用いて、Weil数と重複係数を含む明示的公式を導出し、有限体上の代数的多様体の点数えと類似する。

ABSTRACT

Let $X_{1}$ be a projective, smooth and geometrically connected curve over $\mathbb{F}_{q}$ with $q=p^{n}$ elements where $p$ is a prime number, and let $X$ be its base change to an algebraic closure of $\mathbb{F}_{q}$. We give a formula for the number of irreducible $\ell$-adic local systems ($\ell eq p$) with a fixed rank over $X$ fixed by the Frobenius endomorphism. We prove that this number behaves like a Lefschetz fixed point formula for a variety over $\mathbb{F}_q$, which generalises a result of Drinfeld in rank $2$ and proves a conjecture of Deligne. To do this, we pass to the automorphic side by Langlands correspondence, then use Arthur's non-invariant trace formula and link this number to the number of $\mathbb{F}_q$-points of the moduli space of stable Higgs bundles.

研究の動機と目的

• Fq 上の滑らかで射影的で幾何学的に連結な曲線上の、固定ランクのFrobenius固定不可約ℓ-進局所系の数を数える問題を、ランク2のDrinfeldの結果から任意のランクへ一般化すること。
• Deligneの予想、すなわち、このような局所系の数がFq 上の多様体に対するLefschetz不動点公式に類似した振る舞いを示すことを証明すること。
• Fq 上の曲線上の固定ランクのFrobenius不変不可約ℓ-進局所系の数に対する明示的公式を確立すること。
• Langlands対応を介して、局所系の数を安定Higgsバンドルのモジュライ空間上のFq-有理点の数と結びつけること。
• 非不変Arthur跡公式を用いて、跡公式のスペクトル項と幾何項を解析し、最終的な公式を導出すること。

提案手法

• ℓ-進局所系の数え上げ問題を、自動形式的側に翻訳するためにLanglands対応を適用する。
• 非不変Arthur跡公式を用いて、跡公式の幾何的側とスペクトル的側を関係づける。
• Frobenius固定局所系の数を、安定Higgsバンドルのモジュライ空間上のFq-有理点の数に関連付ける。
• (G,M)-族とEisenstein級数の寄与を用いて、跡公式のスペクトル的側を解析する。
• アデール群上の積分を用いて幾何的側を計算し、それらを分解不能ベクトルバンドルおよびHiggsバンドルに関連付ける。
• グラフ論的技法と普遍多項式を用いて、跡公式の項の組み合わせ的構造を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fq 上の曲線上の固定ランクのFrobenius固定不可約ℓ-進局所系の数は、有限体上の多様体の点数えと類似したLefschetz型の不動点公式を満たすか？
• RQ2 Langlands対応と跡公式の技法を用いて、Drinfeldのランク2結果を任意のランクへ一般化できるか？
• RQ3 このような局所系の数に対する明示的公式が、ランクnで次数0の安定Higgsバンドルのモジュライ空間上のFq-有理点の数と一致するか？
• RQ4 Arthur跡公式のスペクトル的側と幾何的側は、局所系の最終的な数え上げにどのように寄与するか？
• RQ5 Weil数と重複係数は、得られた公式においてどのような役割を果たし、それらがモジュライ空間のコホモロジー的構造をどのように反映するか？

主な発見

• Fq 上の曲線X上のランクnのFrobenius固定不可約ℓ-進局所系の数は、∑ mi αik の形の公式で与えられ、ここでαiは重みが2g−1未満のWeil数であり、miは有理整数である。
• この公式は、Fq 上の多様体に対するLefschetz不動点公式とまったく同じ性質を示し、ランク2におけるDrinfeldの結果を一般化する。
• このような局所系の数は、ランクnで次数0の安定Higgsバンドルのモジュライ空間上のFq-有理点の数に等しい。
• Arthur跡公式のスペクトル的側は、(G,M)-族とグラフ論的分解を用いて計算されるEisenstein級数と残余項を寄与する。
• 幾何的側は、Hitchinのファイブレーションを介して分解不能ベクトルバンドルとHiggsバンドルの関係に結びついた積分を通じて解析される。
• 最終的な公式はℓに依存せず、 genus g とランクn の関数としての普遍多項式を含み、係数はZに属する。