[論文レビュー] Computability at the Planck scale

Paola Zizzi|ArXiv.org|Dec 15, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールにおいて、量子重力が非可換で離散的な時空（特にフラットスフィア）に埋め込まれた普遍的量子コンピュータとしてモデル化可能であると提唱する。すべての物理法則が計算可能関数として記述可能である。内部観測者において古典論理からパラ一貫論理に移行することで、古典的に真ではあるが非計算可能な定理が、計算可能ではあるが決定不能となる。これにより、量子重力における計算可能性が再定義される。

ABSTRACT

We consider the issue of computability at the most fundamental level of physical reality: the Planck scale. To this aim, we consider the theoretical model of a quantum computer on a non commutative space background, which is a computational model for quantum gravity. In this domain, all computable functions are the laws of physics in their most primordial form, and non computable mathematics finds no room in the physical world. Moreover, we show that a theorem that classically was considered true but non computable, at the Planck scale becomes computable but non decidable. This fact is due to the change of logic for observers in a quantum-computing universe: from standard quantum logic and classical logic, to paraconsistent logic.

研究の動機と目的

• 離散的かつ非可換な時空であるプランクスケールにおける物理学における計算可能性の再定義を調査すること。
• 標準的量子測定における隠れた量子情報の問題を、量子空間時空背景に量子コンピュータを埋め込むことによって解決すること。
• 量子コンピューティング宇宙がフラットスフィア上の量子コンピュータと同型である場合、完全な可逆性とすべての量子情報へのアクセスが可能になることを示すこと。
• 量子重力を量子コンピュータ的原理を用いて再定式化し、物理法則を計算可能関数として特定すること。
• 内部観測者である量子宇宙におけるパラ一貫論理の影響を検討し、外部観測者が用いる古典論理と対比すること。

提案手法

• N qubits に対して $ n = 2^N $ 個の基本セルを持つ、フラットスフィアを用いた非可換空間背景上で動作する量子コンピュータとして宇宙をモデル化する。
• 非可換ゲルファンド＝ナイマーク定理を用いて、量子論理ゲートの代数と量子空間との間の同型を確立し、一対一対応を保証する。
• 離散的かつローレンツ不変な量子空間（フラットスフィア）を導入することで、離散性と相対論的対称性の両方を保持する。
• 外部観測者が古典論理を用いるのに対し、内部観測者はパラ一貫論理を用い、矛盾の法則および排中律が無効化されることを導入する。
• 観測者が量子空間に埋め込まれた場合、量子測定が可逆的になることを示し、測定による隠れた量子情報が消失することを確認する。
• ゲーデルの第一不完全性定理を再解釈する：古典論理下で真ではあるが非計算可能な定理が、量子コンピューティング宇宙では計算可能ではあるが決定不能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力が非可換空間上に存在する量子コンピュータとしてモデル化された場合、計算可能性の概念はどのように変化するか？
• RQ2 観測者が量子空間時空に埋め込まれた場合、標準的量子測定における隠れた量子情報はどのように変化するか？
• RQ3 フラットスフィアに基づく量子コンピューティング宇宙が、古典論理および標準的量子論理とは異なる一貫性のある論理を支持できるか？
• RQ4 古典論理からパラ一貫論理への移行が、量子宇宙における数学的定理の決定可能性および真偽値にどのように影響を与えるか？
• RQ5 量子コンピュータと量子空間時空との同型性が、すべての物理法則が計算可能関数であることを示唆する程度はどの程度か？

主な発見

• 量子コンピュータとフラットスフィア背景との同型性により、すべての量子情報がアクセス可能となり、不可逆的測定による隠れた情報が消失する。
• 古典論理下で真ではあるが非計算可能な定理が、量子コンピューティングでは計算可能ではあるが、古典的真理値の無効化により決定不能となる。
• 量子コンピューティング宇宙の内部観測者はパラ一貫論理を用い、$ A \land \neg A $ および $ \neg A \lor A $ の両方が受け入れられる。これにより、古典的矛盾の法則および排中律が無効化される。
• 量子宇宙では古典的真理（0 または 1）の概念が意味を失い、代わりに定理は計算可能ではあるが、古典的には決定不能となる。
• プランクスケールにおける物理法則は、再帰的かつ量子計算可能な関数として特定され、非計算可能な数学的構造は物理的実現を持たないことを示唆する。
• 宇宙はシミュレーションではなく、自らが普遍的量子コンピュータであり、物理法則の最も原初的な記号的形態を動的に評価している。