[論文レビュー] Computability of the Radon-Nikodym derivative

Mathieu Hoyrup, Cristóbal Rojas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、型2効果性（TTE）の枠組みにおいて、Radon-Nikodym導関数の計算可能性を調査する。Radon-Nikodym作用素が非計算可能作用素EC（列挙を特性関数に写像する作用素）にW還元可能であることを確立し、ECがRadon-Nikodym作用素にW還元可能である計算可能測度空間を構成することで、この設定において両者に計算的同等性があることを示している。

ABSTRACT

We study the computational content of the Radon-Nokodym theorem from measure theory in the framework of the representation approach to computable analysis. We define computable measurable spaces and canonical representations of the measures and the integrable functions on such spaces. For functions f,g on represented sets, f is W-reducible to g if f can be computed by applying the function g at most once. Let RN be the Radon-Nikodym operator on the space under consideration and let EC be the non-computable operator mapping every enumeration of a set of natural numbers to its characteristic function. We prove that for every computable measurable space, RN is W-reducible to EC, and we construct a computable measurable space for which EC is W-reducible to RN.

研究の動機と目的

• 計算可能測度論におけるRadon-Nikodym導関数の計算的内容を分析すること。
• 測度および可積分関数のための標準的表現を持つ計算可能測度空間を定義すること。
• W還元を用いてRadon-Nikodym作用素の非計算性の度合いを特徴づけること。
• 特定の計算可能測度空間において、Radon-Nikodym作用素とEC作用素の計算的同等性を確立すること。

提案手法

• 計算可能解析（TTE）における表現アプローチを用い、σ-有限および有限測度、可積分関数のための表現を備えた計算可能測度空間を定義する。
• W還元を用いてRadon-Nikodym作用素RNを分析し、f ≤_W g はfがgの単一の応用によって計算可能であることを意味する。
• RN ≤_W ECの証明は、Levyの0-1法則と古典的Radon-Nikodym定理を計算可能設定に適用することに依拠している。
• EC ≤_sW RNが成り立つような特定の計算可能測度空間を構成し、タイトな計算的同等性を示している。
• 構成では、Radon-Nikodym導関数に収束する段階関数の列を用い、ECを用いて収束が速い部分列を抽出している。
• 代替的証明としてFréchet-Riesz表現定理を検討し、効果的化にはECの単一の応用が必要であり、これにより高速収束が達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算可能設定において、測度μとλからRadon-Nikodym導関数を計算できるか？
• RQ2 W還元の観点から、Radon-Nikodym作用素の非計算性の度合いは何か？
• RQ3 Radon-Nikodym作用素がEC作用素を計算する計算可能測度空間が存在するか？
• RQ4 古典的Radon-Nikodym定理を、計算可能操作とECの単一の応用のみを用いて効果的に一般化できるか？
• RQ5 どのような条件下で、ECを用いずにRadon-Nikodym導関数を計算できるか？

主な発見

• 任意の計算可能測度空間において、Radon-Nikodym作用素RNはEC作用素にW還元可能である。すなわち、RN ≤_W ECである。
• ECがRNにW還元可能な単純な計算可能測度空間が存在する。すなわち、EC ≤_sW RNである。
• この空間において、Radon-Nikodym作用素とEC作用素は計算的に同等である。すなわち、RN ≡_W ECである。
• RN ≤_W ECの証明は、Levyの0-1法則と古典的Radon-Nikodym定理を計算可能枠組みに適用することに依拠している。
• 反例空間の構成は、ECを用いて収束を制御する段階関数の列に依拠しており、収束が速い部分列を抽出している。
• Fréchet-Riesz表現定理に基づく代替的効果的化では、ノルムが下からの計算可能であっても、高速収束を達成するにはECの単一の応用が必要である。