[論文レビュー] Computable counter-examples to the Brouwer fixed-point theorem

Petrus H. Potgieter|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ブルーデルの不動点定理（BFPT）が、ロシア学派のオレフコフのマーカフ計算可能関数とポーランド学派のバイガーの計算可能関数（不動点が非計算可能）という明示的な反例を構成することにより、非計算可能であることを示している。これらの例は、単位正方形上の連続関数に対して一般に計算可能な手続きで不動点を求めることが不可能であることを示し、計算可能解析におけるBFPTが根本的に非構成的であることを証明する。

ABSTRACT

This paper is an overview of results that show the Brouwer fixed-point theorem (BFPT) to be essentially non-constructive and non-computable. The main results, the counter-examples of Orevkov and Baigger, imply that there is no procedure for finding the fixed point in general by giving an example of a computable function which does not fix any computable point. Research in reverse mathematics has shown the BFPT to be equivalent to the weak König lemma in RCA$_0$ (the system of recursive comprehension) and this result is illustrated by relating the weak König lemma directly to the Baigger example.

研究の動機と目的

• 計算可能解析の文脈において、ブルーデルの不動点定理（BFPT）が非構成的かつ非計算可能であることを示すこと。
• 一般に計算可能な手続きが不動点を常に求められることを否定するため、単位正方形上に計算可能だが不動点が計算不能である関数を明示的に構成すること。
• BFPTの非計算可能性を、特にRCA₀における弱Königの補題との同値性という逆数学の基礎的原則と結びつけること。
• 無限計算可能分岐のない計算可能木（Kleene木）の存在を用いて、このような反例を構成的に生成する方法を説明すること。

提案手法

• 3つの条件を満たす計算可能な頂点を持つ長方形の列を構成する：(i) 各新しい長方形は、直前の長方形の集合と部分的に境界を共有する；(ii) それぞれの長方形は後に続く長方形に囲まれるようになる；(iii) 正方形内のすべての計算可能点がその和集合に含まれる。
• 既存の関数値と位相的条件に基づく再帰的拡張を用いて、正方形内の計算可能点から境界へ写像するマーカフ計算可能関数 g を定義する。
• g を90度回転させることで、I²_c から I²_c への写像 f を得るが、f は I²_c 内に不動点を持たない。
• 無限計算可能分岐のないKleene木から導かれる計算可能木 t を用いて、[0,1] 内のすべての計算可能実数を覆う互いに素な閉区間の列を定義する。
• 各点を I² 内の非計算可能点 a へ半分の距離だけ移動させる関数 f を定義する。このとき f は a に唯一の不動点を持つが、a は計算不能である。
• dyadic正方形上で関数が0から離れているかどうかを推定する関数 h を構成し、それを用いて二進文字列上の特性関数 s を定義する。これにより、無限計算可能分岐のない計算可能木 t が生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の連続関数について、2次元以上の単位正方形上で一般に計算可能な手続きで不動点を求めることは可能か？
• RQ2 ブルーデルの不動点定理は、計算可能解析の意味で構成的に妥当な定理か？
• RQ3 不動点の非計算可能性は、逆数学における弱Königの補題といった基礎的原則とどのように関係しているか？
• RQ4 連続関数として定義された単位正方形上の計算可能関数を、計算可能点がすべて不動点でないように構成することは可能か？
• RQ5 無限計算可能分岐のないKleene木の存在が、このような反例の生成に果たす役割は何か？

主な発見

• オレフコフの構成により、f: I²_c → I²_c となるマーカフ計算可能関数 f が得られ、すべての x ∈ I²_c に対して f(x) ≠ x が成り立つ。これは、この関数に対して計算可能な不動点が存在しないことを示している。
• バイガーの例では、ポーランド的意味での計算可能関数 f: I² → I²（計算可能モジュラス連続性を備える）が構成され、唯一の不動点を持つが、その不動点は計算不能である。
• 無限計算可能分岐のない計算可能木（Kleene木）の存在は、[0,1] 内のすべての計算可能実数を覆う互いに素な区間の列を生成するのに十分である。この性質が反例の構築に用いられる。
• バイガーの例における f の構成は、関数がdyadic正方形上で0から離れているかどうかを推定する関数 h に依存しており、これにより特性関数 s が定義され、無限計算可能分岐のない計算可能木 t が生成される。
• 証明では、このような木が無限計算可能分岐を持つと仮定すると、その交点が計算可能な不動点であると矛盾するため、そのような分岐は存在し得ないことが示されている。
• 1次元では、任意の計算可能関数 f: I → I は計算可能な不動点を持つが、2次元以上ではこれが成り立たない。これは、次元間における計算可能性の根本的な違いを示している。