[論文レビュー] Computable Følner monotilings and a theorem of Brudno I

Nikita Moriakov|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Brudnoの定理—位相的エントロピーとコルモゴロフ次元の関係を、計算可能なアメーブル群上の部分符号に拡張する。計算可能なFølnerモノタイリング—WeissのFølnerモノタイリングの構成的・アルゴリズム的版—を導入し、特にℤᵈおよびUT_d(ℤ)を含む群のクラスにおいて、部分符号の位相的エントロピーが、その語のプレシーブの漸近的コルモゴロフ次元に等しいことを証明する。これは、Brudnoの元々の結果を、有効な構造を持つ広範な群のクラスへ一般化する。

ABSTRACT

The purpose of this article is to extend the earliest results of A.A. Brudno, connecting topological entropy of a subshift X over $\mathbb{N}$ to the Kolmogorov complexity of words in X, to subshifts over computable groups that posses computable Følner monotilings, which we introduce in this work. The classical examples of such groups are the groups $\mathbb{Z}^d$ and the groups of upper-triangular matrices with integer entries. Following the work of B. Weiss we show that the class of such groups is closed under group extensions.

研究の動機と目的

• ℕから計算可能なアメーブル群上の部分符号へ、A.A. Brudnoの位相的エントロピーとコルモゴロフ次元を結ぶ結果を一般化すること。
• WeissのFølnerモノタイリングの有効的・アルゴリズム的双対として、計算可能なFølnerモノタイリングの概念を導入し、形式化すること。
• 計算可能なFølnerモノタイリングを許容する計算可能な群のクラスが、計算可能な群拡大に関して閉じていることを確立すること。
• 計算可能な正規Følnerモノタイリングを有する計算可能な群上の部分符号について、位相的エントロピーが関連語のプレシーブの漸近的コルモゴロフ次元に等しいことを証明すること。
• 特にℤᵈおよびUT_d(ℤ)を含む主要な例について、計算可能なFølnerモノタイリングの明示的アルゴリズムを提供し、その構成可能性を示すこと。

提案手法

• 群上の部分符号の構造を形式化するため、計算可能な空間、それらの間の準同型、および語のプレシーブを導入する。
• 語のプレシーブの断片のコルモゴロフ次元を定義し、主要な測度として漸近的コルモゴロフ次元を導入する。
• Følner集合を用いた、計算可能で正規的かつ有効的なタイリングである計算可能なFølnerモノタイリングの概念を発展させる。
• 内部集合における辞書ベースの符号化と境界集合における剰余符号化を用いた、群ラベル付き語を符号化するデコンプレッサーのアルゴリズムを構築する。
• Følner列を用いて境界要素の割合を抑え、符号化された語の複雑度がエントロピー率に近づくことを保証する。
• デコンプレッサーを適用することで、正規化されたコルモゴロフ次元の上極限がエントロピーによって上から抑えられ、極限において等しくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brudnoのエントロピー・複雑度同等性は、ℕからℤᵈ や可解群を含むより一般のアメーブル群上の部分符号へ拡張可能か？
• RQ2 高次元または非アーベル群作用において、コルモゴロフ次元と位相的エントロピーが漸近的に同等のままであるようにするための、有効的・アルゴリズム的構造は何か？
• RQ3 Følnerモノタイリングの概念を、エントロピー・複雑度双対性に必要な本質的性質を保ちながら、計算可能にするにはどうすればよいか？
• RQ4 UT_d(ℤ)のような重要な群クラスに対して、計算可能なFølnerモノタイリングは存在するか？ また、それらは明示的に構成可能か？
• RQ5 計算可能なFølnerモノタイリングを許容する計算可能な群のクラスは、計算可能な群拡大に関して閉じているか？

主な発見

• 計算可能な正規Følnerモノタイリングを有する計算可能な群上の部分符号の位相的エントロピーは、関連語プレシーブの漸近的コルモゴロフ次元に等しい。
• 任意のd ∈ ℕに対して、群ℤᵈは明示的に構成可能なアルゴリズムを有する計算可能なFølnerモノタイリングを有する。
• 上三角整数行列からなる群UT_d(ℤ)に対しても、計算可能なFølnerモノタイリングが存在し、非可換な可解群へ結果を拡張する。
• 計算可能なFølnerモノタイリングを許容する計算可能な群のクラスは、計算可能な群拡大に関して閉じており、広範な適用性を有する。
• 証明により、正規化されたコルモゴロフ次元の上極限が、任意のε > 0と|F_k| → ∞のとき消える項によって抑えられ、極限において等しくなることが示された。
• Følnerモノタイリングにおける正規性の要件は、非制限的である。なぜなら、任意の計算可能なFølnerモノタイリングは、計算可能な正規形に変換可能であるからである。