[論文レビュー] Computable Functions, the Church-Turing Thesis and the Quantum Measurement Problem

R. Srikanth|ArXiv.org|Feb 18, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子力学におけるチューリング・チャーチの thesis が、量子計算を制限することによってではなく、量子測定問題によってヒルベルト空間を有限化することによって保たれることを主張している。有限な測定精度——細かさの度合いを表す有限の細分度 μ で定量化される——が超計算を防ぎ、量子力学と計算可能性の限界を調和させるとする。

ABSTRACT

It is possible in principle to construct quantum mechanical observables and unitary operators which, if implemented in physical systems as measurements and dynamical evolution, would contradict the Church-Turing thesis, which lies at the foundation of computer science. Elsewhere we have argued that the quantum measurement problem implies a finite, computational model of the measurement and evolution of quantum states. If correct, this approach helps to identify the key feature that can reconcile quantum mechanics with the Church-Turing thesis: finitude of the degree of fine-graining of Hilbert space. This suggests that the Church-Turing thesis constrains the physical universe and thereby highlights a surprising connection between purely logical and algorithmic considerations on the one hand and physical reality on the other.

研究の動機と目的

• 量子力学が超計算を可能にする可能性とチューリング・チャーチの thesis の間にある表面上の矛盾を解消すること。
• 量子観測量およびユニタリ操作が、ハーティング問題のようなチューリング非計算可能関数を、原則として計算できるかどうかを調査すること。
• 量子系においてチューリング・チャーチの thesis を強制する物理的原理を特定すること。
• 量子測定問題がヒルベルト空間の解像度に有限な制限を課える仕組みを明らかにし、計算可能性を制限すること。

提案手法

• 離散ヒルベルト空間における情報的に現実的な有限な対象として状態ベクトルを扱う、量子測定の計算モデル（CMQM）を提唱する。
• 物理的測定の有限な精度から導かれる、区別可能な量子状態の数の有限上界 μ を導入する。
• 対角化論法（チューリングのハーティング問題）を適用し、量子アルゴリズムが自身の対角関数を計算できないことを示す。その理由は、整数インデックスに制限された量子アルゴリズムと、実数値のプログラムインデックスを必要とする関数との間で濃度が一致しないからである。
• チャイティンの定数 Ω を用いて、有限な μ であるがゆえに、非計算可能関数の正確な値にアクセスできないことを示す。
• 宇宙論的境界から μ を推定する：標準的量子系では μ ≈ 2×10²³、重力自由度を含めると μ ≈ 10¹²⁰ となる。
• 量子状態の重ね合わせを 2^μ 個を超えて一貫して維持できないことを主張し、ディオファントス方程式のような非再帰的問題の解空間が制限されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ発展と観測可能な測定を通じて、量子力学はハーティング問題のようなチューリング非計算可能関数を計算できるか？
• RQ2 量子系が超計算によってチューリング・チャーチの thesis を破るのを防ぐ物理的原理は何か？
• RQ3 量子測定問題によって課されるヒルベルト空間の有限解像度が、どのようにしてチューリング・チャーチの thesis を回復させるのか？
• RQ4 有限な測定精度を考慮した場合、ヒルベルトの10番目の問題のような未解決問題の解空間は、どの程度物理的に到達可能なのか？
• RQ5 チャイティンの定数 Ω は任意の精度で物理的に計算可能か？もしそうでないなら、その理由は何か？

主な発見

• チューリング・チャーチの thesis は、量子力学を制限することによってではなく、細分度 μ で定量化されるヒルベルト空間の有限性によって保たれる。
• 対角関数 r(n) は、実数値のプログラムインデックスを必要とするが、量子アルゴリズムは整数インデックスに制限されるため、計算できない。
• 同時に重ね合わせ状態として維持可能な量子状態の最大数は 2^μ で制限され、標準的量子系では μ ≈ 2×10²³、重力自由度を含めると μ ≈ 10¹²⁰ となる。
• 2^μ を超える解を持つディオファントス方程式は、いかなる量子アルゴリズムを用いても原則的に計算不能となる。
• チャイティンの定数 Ω は、μ を超える精度では知ることができず、有限な物理的宇宙では完全に計算できない。
• 量子測定の計算モデル（CMQM）は、宇宙がいかに古典的コンピュータよりもはるかに強力であっても、有限な μ のため、有限チューリングマシンの限界に従うと示唆する。