[論文レビュー] Computable Randomness is Inherently Imprecise

Gert de Cooman, Jasper De Bock|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正確な確率ではなく区間予測を用いることで、計算可能確率のゲーム理論的枠組みを導入し、ランダム性が本質的に不正確である可能性を示している。すべての無限二進列が、区間予測のフィルターに関して計算可能にランダムであることを証明しており、そのフィルターが最小の区間を持たないことも示している。これは、正確なモデルでランダム性を表現する際に、必ず精度の損失が生じることを示している。

ABSTRACT

We use the martingale-theoretic approach of game-theoretic probability to incorporate imprecision into the study of randomness. In particular, we define a notion of computable randomness associated with interval, rather than precise, forecasting systems, and study its properties. The richer mathematical structure that thus arises lets us better understand and place existing results for the precise limit. When we focus on constant interval forecasts, we find that every infinite sequence of zeroes and ones has an associated filter of intervals with respect to which it is computably random. It may happen that none of these intervals is precise, which justifies the title of this paper. We illustrate this by showing that computable randomness associated with non-stationary precise forecasting systems can be captured by a stationary interval forecast, which must then be less precise: a gain in model simplicity is thus paid for by a loss in precision.

研究の動機と目的

• 区間確率を用いた不正確な予測システムへの計算可能確率の概念の拡張を目的とする。
• 正確な確率予測に依存せずに、計算可能確率を定義できるかどうかを調査すること。
• 予測が点値ではなく区間である場合の、ランダム性の数学的構造を理解すること。
• 予測システムにおけるモデルの単純さ（定常性）と精度のトレードオフを調査すること。
• 特定の正確な定常予測では計算可能にランダムでないが、区間予測ではランダムであるような列が存在することを示すこと。

提案手法

• 予測をギャンブルの売買価格の区間としてモデル化するゲーム理論的確率の枠組みを用いる。
• 区間予測に対して、期待値が増加しないスーパーマーティンゲール乗数を定義する。
• すべてのプロセス（予測、乗数）が有効に計算可能であることを保証するため、計算可能性制約を適用する。
• 非定常および定常の場合の両方について、区間予測下でのランダム性をテストする具体的な計算可能スーパーマーティンゲール乗数を構築する。
• 与えられた列が計算可能にランダムであるようなすべての区間予測を特定するフィルタリングアプローチを用いる。
• 背理法を用いて、正確な予測が存在しない場合でも、特定の区間予測がランダム性のフィルターに含まれるべきであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予測が正確な確率ではなく区間である場合に、計算可能確率を意味的に定義できるか？
• RQ2 与えられた無限二進列が、ある区間予測に関して計算可能にランダムであるような集合が常に存在するか？
• RQ3 正確な定常予測では計算可能にランダムでないが、定常区間予測ではランダム性を捉えることができるか？
• RQ4 ある列が計算可能にランダムであるような区間予測のフィルターが最小要素を持たないことはあり得るか？
• RQ5 そのようなフィルターにおける最小の区間が非退化（つまり、一点ではなく正の長さを持つ）であることはあり得るか？これは、ランダム性に本質的な不正確性があることを示唆する。

主な発見

• すべての無限二進列は、それに対して計算可能にランダムである非空の区間予測のフィルターを持つ。
• すべての正確な定常予測システムでは計算可能にランダムでないが、定常区間予測では計算可能にランダムであるような列が存在する。
• ある列が計算可能にランダムであるような区間予測のフィルターが最小要素を持たないことはあり得る。これは、ランダム性が本質的に不正確であることを示している。
• 最小の区間が存在する場合でも、それが非退化（正の長さを持つ）であることはあり得る。これは、ランダム性を常に正確に捉えることはできないことを確認している。
• 非定常な正確な予測に対する計算可能なスーパーマーティンゲール乗数は、定常な区間予測に対する計算可能なスーパーマーティンゲール乗数によってシミュレート可能であり、後者は必ずやや不正確である。
• 証明により、ある列が対称的区間予測 $[1/2 - \rho, 1/2 + \rho]$ に関して計算可能にランダムでないと仮定すると、正確な $1/2$ 予測における既知の計算可能ランダム性と矛盾が生じる。