[論文レビュー] Computable Stochastic Processes

Pieter Collins|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、型2効果性と効 computable 型を用いて、確率、確率変数、確率過程の計算可能な理論を構築し、リプシッツ係数を有する確率微分方程式（SDE）の解の有効な計算を可能にする。確率変数を連続関数の極限としてモデル化し、計算可能な枠組みにおける収縮写像を用いることで、SDEの解が連続時間における確率過程として有効に計算可能であることが証明される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present an elementary computable theory of probability, random variables and stochastic processes. The probability theory is baed on existing approaches using valuations and lower integrals. Various approaches to random variables are discussed, including the approach based on completions in a Polish space. We apply the theory to the study of stochastic dynamical systems in discrete-time, and give a brief exposition of the Wiener process as a foundation for stochastic differential equations. The theory is based within the framework of type-two effectivity, so has an explicit direct link with Turing computation, and is expressed in a system of computable types and operations, so has a clean mathematical description.

研究の動機と目的

• 厳密な数値解析に適した、確率および確率過程の基礎的で計算可能な理論を確立すること。
• 古典的σ代数の計算不能性を克服するため、それらを連続関数の位相的構成および完備化で置き換えること。
• 特にSDEに対して、確率変数および確率過程が有効に計算可能であるようなフレームワークを構築すること。
• リプシッツ係数を有する確率微分方程式の解が、連続時間における確率過程として計算可能であることを示すこと。

提案手法

• 数学的対象をチューリングマシンが処理可能な無限列として表現する型2効果性（TTE）の枠組み内で理論が構築される。
• 確率測度は価値関数および下積分を用いて表現され、正の下半連続関数および有界連続関数の上での積分が定義される。
• 確率変数はほとんど everywhere で定義された連続部分関数の極限として定義され、ポーランド空間における連続関数の完備化を形成する。
• 確率過程は連続パスの空間における確率的要素としてモデル化され、$ d_{2,rown} $ といったノルムがパスごとの $ L^2 $-距離を測る。
• SDEのピカール反復が $ d_{2,rown} $ に関して収縮写像であることが示され、小さな時間間隔では有効な収束が保証される。
• 解は小さな時間間隔にわたり再帰的に構成され、それらがつなぎ合わされてグローバルな計算可能性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ代数の非計算可能構造を回避しつつ、古典的確率的推論を保持する計算可能な確率理論を構築できるか？
• RQ2 構成的技法を用いて、連続領域上の確率変数を有効に表現および計算できるか？
• RQ3 リプシッツ係数を有する確率微分方程式の解が、連続時間における確率過程として有効に計算可能か？
• RQ4 SDEのピカール反復が計算可能な枠組みで有効に収束するための条件は何か？
• RQ5 ウィーナー過程自体がこの枠組みで有効に計算可能であるか？これによりSDEの解の構築が可能になるか？

主な発見

• リプシッツ係数を有する確率微分方程式の解は、連続パスの空間 $ C([0,rown); ^d) $ に値をとる確率変数として計算可能である。
• 時間間隔 $ T $ が十分に小さいとき、すなわち $ T < \min(1/2K, 1/16L^2) $ であるとき、SDEのピカール作用素は $ d_{2,rown} $-ノルムに関して収縮写像である。ここで $ K $ および $ L $ はリプシッツ定数である。
• 連続確率過程の非確率的積分 $ \int_0^t X(s)\,ds $ は計算可能であり、$ d_{2,rown}(\int Y dt, \int Z dt) \leq T d_{2,rown}(Y,Z) $ が成り立つ。
• 確率的積分 $ \int_0^t g(Y(s))\,dW(s) $ は計算可能であり、$ d_{2,rown}(\int g(Y) dW, \int g(Z) dW) \leq 2\sqrt{T} d_{2,rown}(Y,Z) $ が成り立つ。
• ウィーナー過程は有効に構成可能であり、その標本パスは計算可能である。これによりSDEの計算の基盤が提供される。
• 初期条件が $ \mathbb{R} $ に属する場合、解作用素 $ \mathbb{R} \to R(C([0,T];\mathbb{R})) $ は計算可能であり、定理69により確率的初期条件へと拡張可能である。