[論文レビュー] Computads and Multitopic Sets

Victor Harnik, Michael Makkai+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、マルチトピック集合の圏と多対一コンピュータッドの圏の同値性を確立し、反復的な自由マルチカテゴリの上に構築されるマルチトピック集合—弱ωカテゴリのプレシェーフモデルを提供する—ことを示している。主な結果は、多対一コンピュータッドの圏がプレシェーフ圏に同値であることであり、これは高次カテゴリの理論における基礎的問題を解決し、このクラスのコンピュータッドにおける語の問題が原始再帰的アルゴリズムによって解けることを示唆している。

ABSTRACT

We compare computads with multitopic sets. Both these kinds of structures have n-dimensional objects (called n-cells and n-pasting diagrams, respectively). The computads form a subclass of the more familiar class of omega-categories, while multitopic sets have been devised by Hermida, Makkai and Power as a vehicle for a definition of the concepts of weak omega-category. Our main result states that the category of multitopic sets is equivalent to that of many-to-one computads, a certain full subcategory of the category of all computads.

研究の動機と目的

• マルチトピック集合とコンピュータッドのフルサブカテゴリの間の圏的同値性を確立すること。
• コンピュータッドとマルチトピック集合という、2つの異なる高次元カテゴリ的構造の生成形式の関係を明確にすること。
• 多対一コンピュータッドの圏がプレシェーフ圏であることを示すこと。これは、全コンピュータッド圏がプレシェーフ圏でないのと対照的である。
• 多対一コンピュータッドにおける語の問題のための構成的基盤を提供し、原始再帰的アルゴリズムによる決定可能性を示唆すること。

提案手法

• 項の形式的言語と項の等価性を証明するための演繹システムを用いて、(n−1)-圏の自由拡張を構成すること。
• 反復的な自由マルチカテゴリを用いてマルチトピック集合を定義し、貼り合わせ図式をn-セルとし、不定元が高次元セルを生成すること。
• 技術的結果（命題6.12）を用いて、不定元の集合上の自由マルチカテゴリからマルチトピック集合への標準的準同型が同型であることを示すこと。
• 次元をまたがるドメイン関数とコドメイン関数を用いた帰納的同型を、マルチトピック集合と多対一コンピュータッドの間で確立すること。
• 不定元からセルへの割り当てが、合成と構造を保存するマルチカテゴリ準同型を誘導すること。
• 同値性を活用して、マルチトピック集合が既にプレシェーフであるという事実を用いて、多対一コンピュータッドの圏がプレシェーフ圏であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチトピック集合とコンピュータッドの自然な部分クラスとの間に圏的同値性は存在するか？
• RQ2 全コンピュータッド圏がプレシェーフ圏でないのに対し、多対一コンピュータッドの圏がプレシェーフ圏であることが示せるか？
• RQ3 マルチトピック集合と多対一コンピュータッドの同値性は、このようなコンピュータッドにおける語の問題の決定可能性を示唆するか？
• RQ4 自由拡張の構造的性質が、古典的コンピュータッドと比較してマルチトピック集合がどのように捉えているか？
• RQ5 不定元の集合上の自由マルチカテゴリからマルチトピック集合構造への標準的準同型が同型であることを証明できるか？

主な発見

• 多対一コンピュータッドの圏とマルチトピック集合の圏は同値であり、弱ωカテゴリの2つの形式的記述の間の基礎的リンクを確立している。
• マルチトピック集合の圏は、以前に確立済みの通りプレシェーフ圏であり、この性質は多対一コンピュータッドのサブ圏にも引き継がれる。
• 全コンピュータッドの圏はプレシェーフ圏でないため、多対一制限の重要性が際立つ。
• 命題6.12の同型の帰結として、多対一コンピュータッドにおける語の問題は原始再帰的アルゴリズムによって解ける。
• 不定元の集合上の自由マルチカテゴリからマルチトピック集合への標準的準同型は同型であり、主な同値性を実現するための重要な技術的結果である。
• 同値性は次元をまたがるドメイン関数とコドメイン関数を保存し、2つの形式的記述間の構造的一致性を保証している。