[論文レビュー] Computation of 2D Fourier transforms and diffraction integrals using Gaussian radial basis functions

Ramos López, Darío|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advancements in Photolithography Techniques参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、プupil関数の近似にガウス型径数基底関数（GRBFs）を用いることで、2次元フーリエ変換および回折積分を効率的に計算する新規な手法を提案する。被積分関数をGRBFの線形結合として表現することにより、複数の合焦点パラメータにわたる合焦点ポイントスプレッド関数（PSF）の高速かつ高精度な評価が可能となり、従来の拡張型ニーボア＝ツェルニケ理論（ENZ）および標準FFTを上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We implement an efficient method of computation of two dimensional Fourier-type integrals based on approximation of the integrand by Gaussian radial basis functions, which constitute a standard tool in approximation theory. As a result, we obtain a rapidly converging series expansion for the integrals, allowing for their accurate calculation. We apply this idea to the evaluation of diffraction integrals, used for the computation of the through-focus characteristics of an optical system. We implement this method and compare it performance in terms of complexity, accuracy and execution time with several alternative approaches, especially with the extended Nijboer-Zernike theory, which is also outlined in the text for the reader’s convenience. The proposed method yields a reliable and fast scheme for simultaneous evaluation of such kind of integrals for several values of the defocus parameter, as required in the characterization of the through-focus optics. Keywords: 2D Fourier transform, Diffraction integrals, Radial Basis Functions, Extended Nijboer–Zernike theory, Through-focus characteristics of an optical system.

研究の動機と目的

• 光学系モデルにおける2次元フーリエ型積分の評価という計算課題に取り組むこと。特に、合焦点特性の評価を目的とする。
• 従来の数値台形則および拡張型ニーボア＝ツェルニケ（ENZ）理論の限界、特に高数値開口数や複雑なプupil関数の取り扱いにおける課題を克服すること。
• 複数の合焦点パラメータにわたる回折積分を、一括して高速かつ高精度に計算する、堅牢で迅速な手法を開発すること。
• 調整可能な形状パラメータを有するGRBFを用いた、複雑な波面を近似するための柔軟で多スケールのフレームワークを提供すること。
• 顕微鏡、オphthalmology、デジタルホログラフィーなどの分野において不可欠な高精度なポイントスプレッド関数（PSF）の計算を可能にすること。

提案手法

• 回折積分におけるプupil関数を、径数的かつ局所的なガウス型径数基底関数（GRBFs）の線形結合で近似する。
• 安定性と高精度を確保するため、Tikhonov正則化を用いた最小二乗フィットにより、GRBF展開の最適係数を決定する。
• GRBFの解析的性質およびベッセル関数の恒等式を活用することで、元の2次元フーリエ積分を収束が速い級数に変換する。
• 第一種ベッセル関数を含む既知の恒等式を用いて、導出された積分の閉形式表現を導出する。
• GRBF展開係数を複数の合焦点値で再利用する効率的なアルゴリズムを実装し、再計算を最小限に抑える。
• 近似の品質を評価するために、振動に敏感なSobolev型ノルムを適用し、積分の精度に影響を与える要因を的確に捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型径数基底関数（GRBFs）は、光学系における2次元フーリエ変換の計算において、標準FFTおよび拡張型ニーボア＝ツェルニケ法に代わる、より精度が高く効率的な代替手段を提供できるか？
• RQ2 合焦点パラメータを変化させた場合に、GRBFに基づく手法は、合焦点PSFの評価において、精度と計算コストの両面でどの程度の性能を示すか？
• RQ3 GRBFの形状パラメータは、複雑な波面を近似する際の適合性および解像度をどの程度向上させるか？
• RQ4 同じ計算コストで、複数の合焦点値に対して、この手法を効率的に並列化または再利用できるか？
• RQ5 非対称的または高数値開口数の光学系において、GRBF法はENZ理論に比べてどの程度優れているか？

主な発見

• GRBFに基づく手法は、計算コストが同等の状況下で、拡張型ニーボア＝ツェルニケ（ENZ）理論および標準2次元FFTを上回る高い精度を達成した。
• 初期計算を除き、追加コストをほとんど要せず、複数の合焦点パラメータにわたる合焦点PSFの評価がほぼ即時に行えるようになった。
• Tikhonov正則化付き最小二乗フィットを用いたGRBFの使用により、ノイズが多いあるいは複雑な波面に対しても、安定的かつ高精度な近似が可能となった。
• ガウス関数の局所的性質に起因し、特に形状パラメータが大きい場合に、プupilの幾何的変化に対して高いロバスト性を示した。
• 異なる中心および形状パラメータを持つ追加のGRBF層を追加することで、残差誤差を低減する多スケールの改良が可能となった。
• ノイズを含む合成波面に対して、GRBF法は参照解（台形則による数値積分）とよく一致するPSFプロファイルを生成し、すべての合焦点値においてENZおよびFFTを凌駕する忠実度を示した。