[論文レビュー] Computation of bound states of semi-infinite matrix Hamiltonians with applications to edge states of two-dimensional materials

Kyle Thicke, Alexander B. Watson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Quantum and electron transport phenomena被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、2次元材料におけるエッジ状態をモデル化する半無限行列ハミルトニアンにおける束縛状態を正確に計算する数値的手法を提示する。この手法は、バルク境界条件とリーマン投影を用いたグリーン関数を用いることで、有限な切断に起因する余分な状態を回避する。本手法は、欠陥を含むグラフェンのジッグザグエッジにおける真のエッジ状態を、タイトバインディングモデルおよび連続PDEモデルの両方で的確に捉えることに成功した。

ABSTRACT

We present a numerical method which accurately computes the discrete spectrum and associated bound states of Hamiltonians which model electronic states localized at boundaries of one and two-dimensional crystalline materials. The problem is non-trivial since arbitrarily large finite hard truncations of the Hamiltonian in the infinite bulk direction tend to produce spurious bound states partially supported at the truncation. Our method, which overcomes this difficulty, is to compute the Green's function of the Hamiltonian by imposing an appropriate boundary condition in the bulk direction; then, the spectral data is recovered via Riesz projection. We demonstrate our method's effectiveness by studies of edge states at a graphene zig-zag edge in the presence of defects modeled both by a discrete tight-binding model and a continuum PDE model under finite difference discretization. Our method may also be used to study states localized at domain wall-type edges in one and two-dimensional materials where the edge Hamiltonian is infinite in both directions; we demonstrate this for the case of a tight-binding model of distinct honeycomb structures joined along a zig-zag edge.

研究の動機と目的

• 材料の境界における電子状態をモデル化する半無限ハミルトニアンにおける有限な切断に起因する余分な束縛状態の問題に対処すること。
• 一次元および二次元の結晶性材料のエッジを有する系における離散スペクトルおよび局在した束縛状態を計算する、堅牢な数値的手法を開発すること。
• タイトバインディングモデルおよび連続PDEモデルの両方を用いた、欠陥を含むグラフェンのジッグザグエッジにおけるエッジ状態の正確なシミュレーションを可能にすること。
• ハミルトニアンが両方向に無限に続くドメインウォール型エッジ、例えば異なるヘキサゴナル構造の接合部などにおいても、本手法を拡張すること。

提案手法

• バルク方向における物理的に適切な境界条件を課すことにより、ハミルトニアンのグリーン関数を計算する。
• グリーン関数を用いてリーマン投影によりスペクトルデータを回復させ、離散スペクトルを分離する。
• 離散的タイトバインディングモデルおよび連続PDEの有限差分離散化の両方へ本手法を適用する。
• 無限のバルク方向を硬く切断しないことで、数値的安定性と正確性を確保する。
• エッジハミルトニアンが両方向に無限に続く系、例えば異なる2次元材料間のドメインウォール接合部に対応するようにアプローチを適応する。
• グラフェンのジッグザグエッジに欠陥を含む系など、既知のエッジ状態の挙動を示す系を用いて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な切断に起因する余分な状態を生じさせることなく、半無限行列ハミルトニアンにおける束縛状態をどのように正確に計算できるか？
• RQ2 欠陥は、グラフェンのジッグザグエッジにおけるエッジ状態の形成および局在にどのような影響を及えるか？
• RQ3 同一の数値フレームワークを、離散的タイトバインディングモデルおよび有限差分離散化を施した連続PDEモデルの両方へ適用可能か？
• RQ4 ドメインウォール接合部のように、エッジハミルトニアンが両方向に無限に続く系において、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 異なるヘキサゴナル格子がジッグザグ界面で接合された複雑なヘテロ構造において、本手法は信頼性を持ってエッジ状態を捉えることができるか？

主な発見

• 本手法は、大きな系であっても、切断に起因する余分な寄与を生じさせることなく、真の束縛状態を的確に計算できた。
• タイトバインディングモデルおよび連続PDEモデルの両方において、欠陥を含むグラフェンのジッグザグエッジにおけるエッジ状態を正確に捉えた。
• エッジハミルトニアンが両方向に無限に続くドメインウォール型エッジに対しても、本アプローチは有効であった。
• リーマン投影技術により、グリーン関数から離散スペクトルを正確に抽出できるようになった。
• 有限差分離散化を含む、さまざまなモデルタイプにおいて、本手法は堅牢で正確な性能を示した。
• 本フレームワークにより、数値的アーチファクトを最小限に抑えて、複雑な2次元材料ヘテロ構造におけるエッジ状態の信頼性の高い研究が可能になった。