[論文レビュー] Computation of sensitivities for the invariant measure of a parameter dependent diffusion

Roland Assaraf, Benjamin Jourdain+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、λ=0における不変測度に関して、パラメータλに関する期待値の微分を計算する数値的手法を提案する。時間に沿って過程とその微分をシミュレートすることで、微分の時間に一様な二階可積分性を保証する十分条件を確立し、Feynman-Kac公式およびGreen-Kubo関係式を用いて感度の効率的なモンテカルロ推定を可能にする。

ABSTRACT

We consider the solution to a stochastic differential equation with a drift function which depends smoothly on some real parameter $\\lambda$, and admitting a unique invariant measure for any value of $\\lambda$ around $\\lambda$ = 0. Our aim is to compute the derivative with respect to $\\lambda$ of averages with respect to the invariant measure, at $\\lambda$ = 0. We analyze a numerical method which consists in simulating the process at $\\lambda$ = 0 together with its derivative with respect to $\\lambda$ on long time horizon. We give sufficient conditions implying uniform-in-time square integrability of this derivative. This allows in particular to compute efficiently the derivative with respect to $\\lambda$ of the mean of an observable through Monte Carlo simulations.

研究の動機と目的

• パラメータλに関する拡散過程における観測量の期待値の微分をλ=0で計算すること。
• 微分過程の時間に一様な二階可積分性を保証する十分条件を確立し、信頼性のあるモンテカルロ推定を可能にすること。
• 過程とその微分の時間平均化シミュレーションを用いた感度計算のための数値フレームワークを提供すること。
• Feynman-Kac公式およびGreen-Kubo関係式を用いて感度の明示的公式を導出すること。
• ドリフト関数およびポテンシャル関数に関する仮定の下で、微分過程のエルゴディシティおよび長期的挙動を分析すること。

提案手法

• 長時間スパンにわたり、拡散過程 (X_t^λ) 及びそのλに関する微分 Y_t^λ をシミュレートする。
• Feynman-Kac公式を用いて、不変測度の感度を微分過程を含む期待値として表現する。
• 微分過程 (Y_t^λ) が時間に一様に二階可積分的であることを保証する条件を確立する。
• Green-Kubo公式を用いて、感度を観測量と微分過程の共分散の時間積分として表現する。
• VがC²級で適切な可積分性および成長条件を満たすものと仮定し、不変測度π₀ = e^{-V(x)}dxを基準測度とする。
• 微分過程が長時間にわたり有界かつ二階可積分的であることを保証する、ポテンシャルVおよび摂動∂_λ⁰F_λに関する十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変測度のλに関する微分が、時間平均化シミュレーションを用いてwell-definedかつ計算可能となる条件は何か？
• RQ2 モンテカルロ収束を保証するために不可欠な、微分過程Y_t^λの時間に一様な二階可積分性を保証する条件は何か？
• RQ3 Feynman-Kac公式およびGreen-Kubo関係式を用いて、観測量の期待値の感度をどのように表現できるか？
• RQ4 ポテンシャルVの曲率が、微分過程の安定性および可積分性を保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 本手法は勾配でないドリフト摂動に対しても適用可能か？そのような拡張にはどのような仮定が必要か？

主な発見

• λ=0における期待値の微分は、観測量fと微分過程Y_t^λとの間の共分散の長期平均として与えられる。
• Y_t^λの時間に一様な二階可積分性を保証する十分条件が導出され、∂_λ⁰F_λの有界性およびπ₀下での発散の可積分性が含まれる。
• ポテンシャルVが凸で∇²Vが局所リプシッツ連続である場合、微分過程は時間にわたり有界かつ二階可積分的である。
• 凸ポテンシャルVに対して、|Y_t^x - Y_t^y|² ≤ |x - y|² exp(-∫₀ᵗ (v(Y_s^x) + v(Y_s^y)) ds) が成り立つ。ここでv(x) = min Spec(∇²V(x)) である。
• Vがmin Spec(∇²V(x)) が凹関数である場合、微分過程は不変測度下で時間に一様に二階可積分的である。
• 本手法により、時間平均化シミュレーションを用いた感度の効率的かつ収束保証付きのモンテカルロ推定が可能である。