[論文レビュー] Computation of the w-primality and asymptotic w-primality with applications to numerical semigroups

J. I. García-García, M. A. Moreno-Frías+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限生成原子的モノイド、特に数値半群における要素のω-素性を計算するためのアルゴリズムを提示する。準アルキメデス的モノイドにおいて、漸近的ω-素性の閉形式の公式を導出し、最小生成系 $ s_1 < \cdots < s_p $ で生成される数値半群に対して、任意の要素 $ s $ の漸近的ω-素性が $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $ に等しいことを証明する。

ABSTRACT

We give an algorithm to compute the $ω$-primality of finitely generated atomic monoids. Asymptotic $\w$-primality is also studied and a formula to obtain it in finitely generated quasi-Archimedean monoids is proven. The formulation is applied to numerical semigroups, obtaining an expression of this invariant in terms of its system of generators.

研究の動機と目的

• 有限生成原子的モノイドの有限提示を用いて、その要素のω-素性を計算するアルゴリズムの開発。
• 有限生成準アルキメデス的キャンセルラブルモノイド（数値半群を含む）における漸近的ω-素性の研究。
• 最小生成系に基づいて、数値半群における漸近的ω-素性の閉形式表現の導出。
• 理論的結果を実用的な因数分解理論の計算に活かせるように、Mathematicaソフトウェアパッケージ「OmegaPrimality」として実装。
• 数値半群の文脈において、ω不変量とモノイドの生成元の構造との間の明確な関係の確立。

提案手法

• 有限生成可換モノイドを $ \mathbb{N}^p / \sigma $ の形で有限提示として用い、ここで $ \sigma $ は同値関係である。
• 要素の表現に、最小生成系と同値類 $[\gamma]_\sigma$ を用いる。
• 除法イデアルにおいて最小でない要素の集合 $ \mathrm{E}(a+S) $ を用いて、$ \omega(a) $ を最小要素の長さの上限を用いて計算する。
• 漸近的ω-素性 $ \overline{\omega}(a) $ の下界を、極限 $ \lim_{n \to \infty} \omega(na)/n $ を用いて導出し、$ \mathbb{Q}^p_{\geq} $ の有理点における最適化により等式を証明する。
• 準アルキメデス的モノイドの構造を用いて、$ \overline{\omega}(a) = k_1(\gamma_1/k_1 + \cdots + \gamma_p/k_p) $ を示し、ここで $ k_i $ は生成元の最小公倍数から導かれる。
• 数値半群にこの結果を適用する際、$ k_i = \mathrm{lcm}(s_1,\dots,s_p)/s_i $ と定め、最終的に公式 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成原子的モノイドの要素のω-素性は、その提示からどのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 準アルキメデス的キャンセルラブルモノイドにおける漸近的ω-素性は何か？ そして、閉形式で表せるか？
• RQ3 数値半群の要素における漸近的ω-素性は何か？ また、その最小生成系とはどのように関係するか？
• RQ4 理論的結果は、実用的な因数分解理論の計算に有効に実装可能か？
• RQ5 数値半群において、ω不変量とモノイドの生成元の構造との正確な関係は何か？

主な発見

• 有限生成原子的モノイドの任意の要素 $ a $ に対して、その有限提示から $ \omega(a) $ を計算するアルゴリズムが開発された。
• 準アルキメデス的キャンセルラブルモノイドにおいて、漸近的ω-素性は $ \overline{\omega}(a) = k_1(\gamma_1/k_1 + \cdots + \gamma_p/k_p) $ で与えられ、ここで $ \gamma $ は $ a $ の座標ベクトルであり、$ k_i $ はモノイドの構造から導かれる。
• 最小生成系 $ \langle s_1 < \cdots < s_p \rangle $ で生成される数値半群において、任意の要素 $ s $ の漸近的ω-素性は $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $ に等しく、明示的で単純な公式である。
• 公式 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $ は、$ s $ を生成元の線形結合として表現し、生成元の最小公倍数を用いてスケーリング要因 $ k_i $ を定義することで導出された。
• 理論的結果は、提示または生成元から $ \omega $-不変量を計算可能な Mathematica での実装である OmegaPrimality ソフトウェアパッケージによって補完された。
• 本稿では、極限 $ \lim_{n \to \infty} \omega(na)/n $ が存在し、導出された式に等しいことを証明し、ω不変量の漸近的挙動を確認した。