[論文レビュー] Computation of VaR and CVaR using stochastic approximations and unconstrained importance sampling

Olivier Bardou, Noufel Frikha+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、金融およびエネルギー投資ポートフォリオのリスク値（VaR）および条件付きリスク値（CVaR）を効率的に推定するため、再帰的確率的近似法と適応的非制約的重要度サンプリングを組み合わせた手法を提案する。ロビンズ＝モンローのアルゴリズムと、ギルサノフ変換またはエッシャー変換に基づく測度変更による分散低減を活用することで、最小分散と中心極限定理を達成し、とくに高い信頼水準（例：99.5%）におけるレアイベントリスク推定のためのシミュレーション時間を顕著に短縮する。

ABSTRACT

Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR) are two risk measures which are widely used in the practice of risk management. This paper deals with the problem of computing both VaR and CVaR using stochastic approximation (with decreasing steps): we propose a first Robbins-Monro procedure based on Rockaffelar-Uryasev's identity for the CVaR. The convergence rate of this algorithm to its target satisfies a Gaussian Central Limit Theorem. As a second step, in order to speed up the initial procedure, we propose a recursive importance sampling (I.S.) procedure which induces a significant variance reduction of both VaR and CVaR procedures. This idea, which goes back to the seminal paper of B. Arouna, follows a new approach introduced by V. Lemaire and G. Pagès. Finally, we consider a deterministic moving risk level to speed up the initialization phase of the algorithm. We prove that the convergence rate of the resulting procedure is ruled by a Central Limit Theorem with minimal variance and its efficiency is illustrated by considering several typical energy portfolios.

研究の動機と目的

• 非線形かつパス依存的なダイナミクスを有するポートフォリオのVaRおよびCVaR推定における計算的課題に対処する。
• とくに高い信頼水準（例：95%、99%、99.5%）における、標準モンテカルロ法の収束遅さを克服する。
• ロッカフェラー＝ウリャセフの恒等式に基づく単一の再帰的アルゴリズムを用いて、同時にVaRおよびCVaRを推定する。
• 最適な測度変更に関する事前知識を必要とせず、分散を顕著に低減する適応的非制約的重要度サンプリング手順を開発する。
• ゆっくりと増加するリスク水準を用いた初期化により、重要度サンプリングのパラメータをレアイベント領域に効果的に導く。

提案手法

• ロッカフェラー＝ウリャセフの凸最適化定式化に基づき、減少するステップサイズを有するロビンズ＝モンローの確率的近似アルゴリズムを用いて、同時にVaRおよびCVaRを推定する。
• 漸近的効率性を達成し、最小分散のガウス分布への収束を保証するため、ラッパーパーク＝ポリャク平均化を適用する。
• 確率的勾配アプローチを用いて、再帰的に測度変更のパラメータを更新する適応的非制約的重要度サンプリング（IS）手順を導入する。
• 拡散過程における測度変更を定義するためギルサノフの定理を適用し、パス依存設定において無限次元の分散低減を可能にする。
• ターゲット信頼水準αを段階的に増加させる動的リスク水準戦略を実装し、αₙ → αとする。これにより、稀イベント領域への収束が向上する。
• 2種類のISバリエーションを適用：平均シフト（位置シフト）とエッシャー変換（NIG分布におけるβでパrameter化）。後者は、重たい尾を持つ分布に対してより効果的であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の再帰的確率的近似アルゴリズムが、収束保証のもとで、同時にVaRおよびCVaRを効率的に推定できるか？
• RQ2 重要度サンプリングをどのように再帰的かつ適応的に調整することで、稀イベントにおけるVaRおよびCVaR推定の分散を最小化できるか？
• RQ3 ゆっくりと増加するリスク水準αₙが、IS手順の収束性および分散低減に与える影響は何か？
• RQ4 重たい尾を持つ分布や非対称分布に対して、平均シフトとエッシャー変換の両方のIS戦略の性能はどのように比較されるか？
• RQ5 ギルサノフの定理を用いて一般の拡散過程に拡張した場合でも、中央極限定理において最小分散を達成できるか？

主な発見

• 平均化を施した提案されたロビンズ＝モンローのアルゴリズムは、最小分散のガウス中心極限定理を達成し、漸近的効率性を保証する。
• 99.5%信頼水準において、CVaRの分散低減比（VRR）は、500,000回のシミュレーションにおける標準モンテカルロ法と比較して最大123倍に達した。
• エッシャー変換に基づくIS手順は、平均シフトを上回り、特に正規逆ガウス（NIG）のような重たい尾を持つ分布に対して優れた性能を示し、99.5%水準でVRRが110～123に達した。
• 99%信頼水準において、エッシャー変換を用いたCVaR推定器は、100,000ステップでVRRが70に達した。これは顕著な分散低減を示している。
• 60次元のポートフォリオ（損失過程が60次元ガウス分布に依存）に対しても、本手法は有効に機能する。
• 予備的な結果では、疑似乱数の代わりに低分散列を用いることで収束速度がさらに向上する可能性があるが、理論的基盤は未確立のままである。