[論文レビュー] Computation of Weyl groups of G-varieties

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、再帰的群の表現におけるCartan空間と中心的価値錐を用いて、G-多様体のWeyl群を明示的に計算するアルゴリズムを提示する。特に、同次空間およびアフィン同次ベクトルバンドルに対して適用可能である。Weyl群は中心的価値錐の facet によって生成される反射群として生じることを確立し、A, D, E, B, C, および F4 型の再帰的群に対して明示的な計算を提供する。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group. To any irreducible G-variety one associates a certain linear group generated by reflections called the Weyl group. Weyl groups play an important role in the study of embeddings of homogeneous spaces. We establish algorithms for computing Weyl groups for homogeneous spaces and affine homogeneous vector bundles. For some special classes of G-varieties (affine homogeneous vector bundles of maximal rank, affine homogeneous spaces, homogeneous spaces of maximal rank with discrete group of central automorphisms) we compute Weyl groups more or less explicitly.

研究の動機と目的

• 可約G-多様体のWeyl群を一般に計算するためのアルゴリズムを開発すること、特に同次空間およびアフィン同次ベクトルバンドルに対して焦点を当てる。
• 特別なクラスのG-多様体、特に最大ランクのアフィン同次ベクトルバンドルおよび離散的中心自己同型群をもつ同次空間に対して、Weyl群を明示的に決定すること。
• 古典的なWeyl群構成を一般化する、Cartan空間と中心的価値錐に基づく計算フレームワークを確立すること。
• Weyl群の計算をより単純な部分代数およびLevi分解に還元する体系的な手法を提供すること。
• Knopの枠組みを用いて、球面的多様体および対称空間の文脈におけるWeyl群に関する既存の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• G-多様体 $X$ に対して、$\mathfrak{a}_{G,X} = \mathfrak{X}_{G,X} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$ を定義する。ここで $\mathfrak{X}_{G,X}$ は $X$ 上の $B$-半不変有理関数の重み格子である。
• 中心的価値錐 $\mathcal{V}_{G,X} \subset \mathfrak{a}_{G,X}(\mathbb{R})^*$ を用い、これは有限生成の有理凸錐である。Weyl群はその facet によって生成される反射群として定義する。
• KnopのWeyl群の3通りの定義の同値性を用い、特に中心的 $G$-価値の理論的構成に注目する。
• $\mathfrak{t}^{W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})} = \{0\}$ となる場合に還元するため、反標準パラボリック部分代数に共役化し、衰弱性条件を用いる。
• 特徴的な成分 $\underline{X} \subset X^{L_0}$ と商 $\underline{G}/\underline{H}$ を用い、問題をより小さい群に還元する。ここで $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}}) = W(\underline{{\mathfrak{g}}},\underline{{\mathfrak{h}}}) \leftthreetimes \Gamma$ が成り立つ。
• A, D, E, B, C, F4 型の分類結果を活用し、部分代数およびイデアルに関する既知の補題を用いて、構造的還元により $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価値理論的および格子論的データを用いて、一般の $G$-多様体のWeyl群をどのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 再帰的群上の最大ランクのアフィン同次ベクトルバンドルのWeyl群の構造はどのようなものか？
• RQ3 同次空間 $G/H$ のWeyl群が、より小さいWeyl群と有限群 $\Gamma$ の半直積に分解する条件は何か？
• RQ4 特に $B_l, C_l, F_4$ 型において、$W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$ の計算をどのようにより単純な部分代数に還元できるか？
• RQ5 中心的価値錐はWeyl群を決定する上で果たす役割は何か？また、その単体的構造が群が有限かつ反射によって生成されることを保証する仕組みは？

主な発見

• G-多様体 $X$ のWeyl群 $W_{G,X}$ は、中心的価値錐 $\mathcal{V}_{G,X}$ の facet に対応する反射によって生成される有限反射群であり、$\mathcal{V}_{G,X}$ は単体的である。
• 最大ランクのアフィン同次ベクトルバンドルに対しては、重み格子とCartan空間の構造を用いてWeyl群が明示的に計算可能であり、$\mathfrak{a}_{G,X}$ はWeyl群の作用における固定点空間である。
• 離散的中心自己同型群をもつ同次空間 $G/H$ の場合、Weyl群は $W(\underline{{\mathfrak{g}}},\underline{{\mathfrak{h}}}) \leftthreetimes \Gamma$ に同型であり、ここで $\Gamma$ は正規化子構造から生じる有限群である。
• A, D, E 型の再帰的群では、$W$-準本質的三つ組の分類を用いて $\mathfrak{t}^{W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})}$ から $W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$ が回復される。
• C_l 型（$l > 2$）では、命題 6.4.3 を用い、パラボリック部分代数の構造とWeyl群作用の関係を特定する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2l+1}$ および $F_4$ の場合、補題 6.5.3 および 6.6.1 を用い、適切な部分代数 $\underline{{\mathfrak{h}}}$ に対して $W({\mathfrak{g}},\underline{{\mathfrak{h}}}) = W({\mathfrak{g}},{\mathfrak{h}})$ が成り立つことを示し、既知のケースへの還元を可能にする。