[論文レビュー] Computation of whiskered invariant tori and their associated manifolds: new fast algorithms

Yannick Sire, Rafael de la Llave+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 42被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、スペクトル離散化を用いたニュートン型手法を用いて、ハミルトニアン系におけるホイッチャードKAMトーラスおよびその関連不変多様体を高速かつ効率的に計算するためのアルゴリズムを提示する。この手法は、$N$ 個のフーリエモードに対して $O(N\ln N)$ 演算および $O(N)$ ストレージを達成し、作用角変数や小摂動を必要とせず、離散的・連続的時間系の両方において高精度なトーラスおよびホイッチャーの計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we present efficient algorithms for the computation of several invariant objects for Hamiltonian dynamics. More precisely, we consider KAM tori (i.e diffeomorphic copies of the torus such that the motion on them is conjugated to a rigid rotation) both Lagrangian tori (of maximal dimension) and whiskered tori (i.e. tori with hyperbolic directions which, together with the tangents to the torus and the symplectic conjugates span the whole tangent space). In the case of whiskered tori, we also present algorithms to compute the invariant splitting and the invariant manifolds associated to the splitting. We present them both for the case of discrete time and for differential equations. The algorithms are based on a Newton method to solve an appropriately chosen functional equation that expresses invariance. The algorithms are efficient: if we discretize the objects by $N$ elements, one step of the Newton method requires only O(N) storage and $O(N \\ln(N))$ operations. Furthermore, if the object we consider is of dimension $\\ell$, we only need to compute functions of $\\ell$ variables, independently of what is the dimension of the phase space. The algorithms do not require that the system is presented in action-angle variables nor that it is close to integrable. The algorithms are backed up by rigorous \\emph{a-posteriori} bounds which state that if the equations are solved with a small residual and some explicitly computable condition numbers are not too big, then, there is a true solution which is close to the computed one. The algorithms apply both to primary (i.e non-contractible) and secondary tori (i.e. contractible to a torus of lower dimension, such as islands). They have already been implemented. We will report on the technicalities of the implementation and the results of running them elsewhere.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン系におけるラグランジュ型およびホイッチャードKAMトーラスを計算的に効率よく計算するためのアルゴリズムの開発。
• ホイッチャードトーラスに関連する不変分割および安定・不安定多様体を、離散的・連続的時間系の両方に適用可能な形で計算すること。
• 残差および条件数に対する明示的な境界を用いた、計算された解の厳密な事後検証を提供すること。
• 主トーラスおよび二次的（可縮性を持つ）トーラス、特に双曲的方向を有するものも含めた計算を可能にすること。
• 次元に依存しない効率的なスケーリングを実現するアルゴリズムの設計：各ニュートンステップあたり $O(N)$ ストレージおよび $O(N\ln N)$ 演算を要し、位相空間次元に依存しないこと。

提案手法

• トーラスの動的不変性を表す関数方程式を、系のベクトル場または写像を用いて定式化し、ニュートン法を用いて解く。
• フーリエ級数を用いて $N$ 個の係数でトーラスおよびその関連関数を離散化し、スペクトル精度と高速変換を実現する。
• 高速フーリエ変換（FFT）を活用し、各ニュートンステップあたり $O(N\ln N)$ 演算を達成し、標準的な線形代数の $O(N^3)$ コストを回避する。
• 不変分割の計算において、グラフ変換ではなく直交射影子を直接用いることで、数値的安定性を向上させる。
• 不変多様体の計算においては、反復的に修正された不変性方程式を解き、フーリエ空間における線形系の再帰的解法により、各ステップで精度を2倍にする。
• 事後検証を適用：残差が小さく、条件数が有界であれば、計算された解の近傍に真の解が存在することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ハミルトニアン系において、高精度かつ高効率にホイッチャードKAMトーラスおよびその関連不変多様体を計算できるか？
• RQ2 高次元トーラスの不変性方程式を解く際に、$O(N\ln N)$ の演算回数および $O(N)$ のストレージを達成するためのアルゴリズム的技術は何か？
• RQ3 このアルゴリズムは非可積分系および作用角変数にないトーラスに対しても適用可能か？
• RQ4 残差および条件数に対する事後境界を用いて、計算された解を厳密に検証する方法は何か？
• RQ5 多数のフーリエモードを有する系において、この手法の計算スケーリングは何か？また、標準的ニュートン法と比較してどうなるか？

主な発見

• アルゴリズムは、各ニュートンステップあたり $O(N\ln N)$ 演算および $O(N)$ ストレージを達成し、数百万個のフーリエ係数を含む計算が、標準的なデスクトップハードウェアでも可能である。
• この手法は位相空間次元に依存しない：計算コストに影響するのはトーラスの次元 $\ell$ のみであり、周囲空間の次元ではない。
• アルゴリズムは、主トーラスおよび二次的（可縮性を持つ）トーラス、特に双曲的方向を有するものも含めて計算可能である。
• 不変分割および安定・不安定多様体は、グラフ変換ではなく射影に基づく手法を用いて効率的に計算可能である。
• 事後検証フレームワークにより、残差が小さく、条件数が有界であれば、計算された解の近傍に真の解が存在することが保証される。
• この手法は実装・テストが行われており、詳細な結果および技術的実装の詳細は補論としての論文 [HdlLS09] に報告されている。