[論文レビュー] Computational Analysis of Control Systems Using Dynamic Optimization

Wei Kang, Liang Xu|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、線形および非線形制御系における可観測性、到達可能性、ロバストネスを定量的に測定するための計算的動的最適化手法を導入する。推定および制御におけるあいまいさを最適化問題として定式化することにより、強可観測性と弱可観測性の区別、部分的可観測性、制約付き到達可能性の実用的検証が可能となり、主な結果として、安全制約下での状態到達可能性において最大40%の相対誤差が生じることを示している。

ABSTRACT

Several concepts on the measure of observability, reachability, and robustness are defined and illustrated for both linear and nonlinear control systems. Defined by using computational dynamic optimization, these concepts are applicable to a wide spectrum of problems. Some questions addressed include the observability based on user-information, the determination of strong observability vs. weak observability, partial observability of complex systems, the computation of $L^2$-gain for nonlinear control systems, and the measure of reachability in the presence of state constraints. Examples on dynamic systems defined by both ordinary and partial differential equations are shown.

研究の動機と目的

• 線形および非線形制御系の両方に対して、計算的に検証可能で定量的な可観測性、到達可能性、ロバストネスの測定法を開発すること。
• 制御入力の有界変動などのユーザの知識やシステム制約を組み込むことで、従来の定義における限界を克服すること。
• 複雑なシステム、特に部分的可観測性および偏微分方程式(PDE)に従うシステムにおける可観測性および到達可能性の実用的評価を可能とすること。
• 動的最適化を用いて、状態および制御制約下でも$L^2$-ゲインと制御コストを計算すること。
• 境界制御を伴う熱方程式および非線形原子間力顕微鏡モデルといった実世界の問題への手法の適用を示すこと。

提案手法

• 出力誤差の上限を考慮した状態推定における「推定と真の状態との間の最小偏差」として可観測性を定義し、動的最適化により解く。
• 状態および制御制約下での到達可能性を評価するため、制約付き最適制御問題として制御におけるあいまいさを定式化する。
• $L^p$-ノルムをシステムの指標として用い、最適制御問題の数値解法に擬スペクトル法（例：ルジャンドル＝ガウス＝ルジャンドル）を適用する。
• 制御入力の有界変動、状態の上限、終端条件などの制約を最適化フレームワークに明示的にモデル化する。
• 非線形系における$L^2$-ゲインを、動的最適化を用いて計算し、正確な方法および固有値に基づく近似法の両方を用いる。
• 中心差分法を用いてPDE（例：熱方程式）を離散化し、数値計算が可能なODE制御系に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系において、強可観測性と弱可観測性を定量的にどのように区別できるか？
• RQ2 制御入力の有界変動などのユーザの知識を組み込むことで、従来の定義を超えて可観測性がどの程度向上するか？
• RQ3 状態やパラメータの関数しか観測できない場合、大規模またはネットワーク化されたシステムの部分的可観測性をどのように測定できるか？
• RQ4 有限次元入力を伴う非線形制御系の$L^2$-ゲインを決定する計算的手法は何か？
• RQ5 状態制約が存在する場合、制御系の実用的到達可能性にどのように影響を与え、その影響をどのように定量的に測定できるか？

主な発見

• 従来の定義では可観測性があると見なされていたシステムでも、推定における高いあいまいさのため、実用的には非可観測となることがあり、定量的指標により強可観測性と弱可観測性を区別できる。
• センサ情報以外の情報（例：制御入力の有界変動）を組み込むことで、古典的定義では非可観測とされるシステムでさえ、強可観測性を達成できる。
• 境界制御を伴う熱方程式では、目標状態が閾値（A > 0.4）を超えると、実用的に到達不能となり、安全制約（w ≤ 2）下での最も近い到達可能な状態において40%の相対誤差が生じる。
• 非線形原子間力顕微鏡モデルの$L^2$-ゲインは、動的最適化を用いて成功裏に計算され、実世界の非線形系への適用可能性が示された。
• 状態制約下では制御におけるあいまいさが著しく増大し、理論的可制御性が実用的到達可能性を意味しないことが示された。
• ルジャンドル＝ガウス＝ルジャンドル節点を用いた擬スペクトル法は、動的最適化問題を効果的に解き、可観測性および到達可能性指標の正確な計算を可能にした。