[論文レビュー] Computational Anatomy in Theano

Line Kühnel, Stefan Sommer|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Morphological variations and asymmetry被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、計算解剖学における微分幾何学および非線形統計の記号的で高性能な実装をTheanoを用いて提示する。GPUアクセラレーションを活用した地図の測地線、平行移動、Frechét平均、およびブラウン運動の簡潔な計算を可能にし、20,000個の特徴点を用いたCorpus Callosumの形状に対して、LDDMMフレームワークで1ミリ秒未塔のタイミングを達成した。

ABSTRACT

To model deformation of anatomical shapes, non-linear statistics are required to take into account the non-linear structure of the data space. Computer implementations of non-linear statistics and differential geometry algorithms often lead to long and complex code sequences. The aim of the paper is to show how the Theano framework can be used for simple and concise implementation of complex differential geometry algorithms while being able to handle complex and high-dimensional data structures. We show how the Theano framework meets both of these requirements. The framework provides a symbolic language that allows mathematical equations to be directly translated into Theano code, and it is able to perform both fast CPU and GPU computations on high-dimensional data. We show how different concepts from non-linear statistics and differential geometry can be implemented in Theano, and give examples of the implemented theory visualized on landmark representations of Corpus Callosum shapes.

研究の動機と目的

• 計算解剖学における複雑な微分幾何学および非線形統計アルゴリズムの実装を簡素化すること。
• Theanoの記号的微分およびGPU/CPU計算を活用して、高次元の解剖学的データを効率的に処理すること。
• 特徴点に基づく形状解析におけるRiemann的および部分Riemann的構造に対するフレームワークの実証。
• フレームバンドルを用いて、非線形多様体上でのFrechét平均および正規分布の正確な推定を可能にすること。
• 曲がったデータ空間における非線形統計的解析のための汎用的かつ再利用可能なコードベースの提供。

提案手法

• Theanoの自動微分を用いた測地線計算のためのハミルトニアン方程式の記号的実装。
• 計量テンソル上の記号的行列演算を用いたクリストッフェル記号および平行移動の計算。
• 多様体およびフレームバンドル上のFrechét平均アルゴリズムの使用。測地線距離および最も確率の高い経路（MPP）エネルギーを最小化。
• SDE解（6）を用いた多様体上でのブラウン運動の確率的発展。遷移分布が正規分布を定義。
• TheanoによるGPUアクセラレーションの透明な統合。明示的なGPUコードは不要。
• 運動量ベクトルおよびシャープ写像を用いてMPPを定義する、フレームバンドルに基づくFrechét平均の実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Theanoの記号的フレームワークは、計算解剖学における複雑な微分幾何学アルゴリズムの実装を簡素化できるか？
• RQ2 Theanoは、高次元特徴点多様体上での測地線および平行移動をどの程度効率的に計算できるか？
• RQ3 フレームバンドル上のFrechét平均は、非線形形状多様体上での異方的正規分布の推定に有効に使えるか？
• RQ4 Theanoは、明示的なGPUコードを書かずに、どの程度GPUアクセラレーションを可能にするか？
• RQ5 実装された確率的過程（例：ブラウン運動）は、曲がった多様体上でのユークリッド統計的類似物と比較して、どのように異なるか？

主な発見

• Theanoにより、高次微分の手動導出を伴わずに、複雑な微分幾何学方程式を直接的かつ簡潔で読みやすいコードに翻訳可能であった。
• フレームワークは、20,000点の40,000次元特徴点多様体上での測地線マッチングにおいて、CPUまたはGPUを透明に使用して1ミリ秒未塔の計算時間を達成した。
• クリストッフェル記号および平行移動の計算は、計量テンソル上の記号的行列演算を用いて成功裏に実装された。
• フレームバンドル上のFrechét平均は成功裏に計算され、非直交フレームを用いた異方的正規分布の推定が可能となった。
• Corpus Callosum多様体上でのブラウン運動および正規分布遷移が可視化され、曲がった空間における確率的モデルの妥当性が確認された。
• 実装は汎用的かつ再利用可能であり、Theano Geometryリポジトリでコードが公開されており、特徴点多様体を超えた応用に適している。