[論文レビュー] Computational Aspects of the Hausdorff Distance in Unbounded Dimension

Stefan König|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限次元における多面体間のハウスドルフ距離の計算複雑性を調査し、両方の多面体が頂点表現である場合、多項式時間で解けることを示している。一方、少なくとも一方が半空間表現の場合、NP困難かつW[1]-困難である。さらに、同型変換を伴うマッチング問題に対して、多項式時間 (3√d + 1)-近似アルゴリズムを提示し、W[1]-困難な評価条件下でも有効である。また、ジョンの定理に類似した最適性基準を用いて、凸体に対するヘリ型定理を確立している。

ABSTRACT

We study the computational complexity of determining the Hausdorff distance of two polytopes given in halfspace- or vertex-presentation in arbitrary dimension. Subsequently, a matching problem is investigated where a convex body is allowed to be homothetically transformed in order to minimize its Hausdorff distance to another one. For this problem, we characterize optimal solutions, deduce a Helly-type theorem and give polynomial time (approximation) algorithms for polytopes.

研究の動機と目的

• 任意の次元における二つの多面体間のハウスドルフ距離を計算する際の計算複雑性を特定すること。
• 多面体が半空間形式または頂点形式で提示される場合の問題の難易度を分析すること。
• 一つの凸体を同型変換して、もう一つの凸体とのハウスドルフ距離を最小化するマッチング問題を調査すること。
• 評価が困難な状況下でも、特に半空間表現下でのマッチング問題に対して多項式時間近似アルゴリズムを導出すること。
• ジョンの定理に類似した最適性条件に基づき、凸体に対するヘリ型定理を確立すること。

提案手法

• 多面体の提示方法（頂点（V）または半空間（H））に応じて、ハウスドルフ距離計算の複雑性を分類する。
• マッチング問題をモデル化し、両多面体がV表現の場合に、第二順序錐プログラミング（SOCP）を用いてハウスドルフ距離を近似する。
• 「基準点法」を適用し、H多面体の直径をその軸に平行な境界ボックスの直径に置き換えることで、多項式時間近似を可能にする。
• サポート関数および単位球体と双対体の性質を用いて性能保証を導出する。
• カラテオドリの定理を用いて、包含制約に必要な極値点の数を削減する。
• ジョンの定理から導かれる最適性条件を活用し、凸体に対するヘリ型結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両多面体が無限次元における頂点表現の場合、ハウスドルフ距離は多項式時間で計算可能か？
• RQ2 少なくとも一方の多面体が半空間表現の場合、ハウスドルフ距離を計算する計算複雑性はいかほどか？
• RQ3 頂点表現の多面体に対して、同型変換を用いたマッチング問題は、効率的に解けるか？
• RQ4 半空間表現により評価問題がW[1]-困難である場合でも、マッチング問題に対する多項式時間近似アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 最適な同型変換と凸幾何学の構造的関係、たとえばヘリ型定理は何か？

主な発見

• 両多面体が頂点表現の場合、任意のノルムに対してハウスドルフ距離は多項式時間で計算可能である。
• 少なくとも一方の多面体が半空間表現の場合、ハウスドルフ距離の計算はNP困難かつW[1]-困難である。
• 二つの頂点表現多面体に対して、同型変換下でのマッチング問題は任意次元で多項式時間で解ける。
• 一方の多面体が半空間表現であっても、最適ハウスドルフ距離の (3√d + 1)-近似は多項式時間で計算可能である。
• 凸体に対するヘリ型定理が確立された：もし一組の凸体が共通の同型変換によりハウスドルフ距離を最小化するならば、サイズが最大d(d + 2)の小さな部分集合で最適変換を特定できる。
• 境界ボックスの直径を多面体の直径の代わりに使用する基準点法により、(3√d + 1)-近似が得られ、多項式時間で計算可能である。