[論文レビュー] Computational Aspects of the Mobius Transform

Robert Kennes, Philippe Smets|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Geophysics and Sensor Technology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Dempster-Shafer理論における証拠の理論におけるコアな演算を著しく高速化する、指向付きグラフ上でMobius変換を計算するための高度に最適化されたアルゴリズムである「高速Mobius変換」を紹介する。この手法により、共通性関数を介してDempsterの結合則の計算が大幅に高速化され、不確実性推論を用いたエキスパートシステムにおける主要な計算ボトルネックが克服される。

ABSTRACT

In this paper we associate with every (directed) graph G a transformation called the Mobius transformation of the graph G. The Mobius transformation of the graph (O) is of major significance for Dempster-Shafer theory of evidence. However, because it is computationally very heavy, the Mobius transformation together with Dempster's rule of combination is a major obstacle to the use of Dempster-Shafer theory for handling uncertainty in expert systems. The major contribution of this paper is the discovery of the 'fast Mobius transformations' of (O). These 'fast Mobius transformations' are the fastest algorithms for computing the Mobius transformation of (O). As an easy but useful application, we provide, via the commonality function, an algorithm for computing Dempster's rule of combination which is much faster than the usual one.

研究の動機と目的

• Dempster-Shafer理論におけるMobius変換の計算非効率性を解消し、エキスパートシステムにおけるその利用を制限する要因を克服すること。
• 指向付きグラフ上でMobius変換を計算するより効率的なアルゴリズムの開発。
• 証拠理論の基本的演算であるDempsterの結合則の計算時間計算量の低減。
• 人工知能アプリケーションにおける不確実性処理のための実用的でスケーラブルなソリューションの提供。
• 共通性関数を計算加速器として用いることで、高速計算のフレームワークを確立すること。

提案手法

• 本稿では、有向グラフGにおけるMobius変換を、集合関数をそのMobius逆に写像する変換として定義する。
• 基礎となるグラフの構造を活用することで、計算複雑性を低減する「高速Mobius変換」の概念を導入する。
• 包含除算法則および冪集合のラティス構造を活用して、変換プロセスを最適化する。
• 標準的手法よりも効率的にDempsterの結合則を計算するためのブリッジとして、共通性関数を用いる。
• 再帰的に冪集合ラティスのハッセ図に適用されるようにアルゴリズムを設計し、重複演算を最小限に抑える。
• 理論的分析とUAI-1990会議のベンチマークを用いた既存手法との比較を通じて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dempster-Shafer理論の文脈において、Mobius変換の計算コストをどのように低減できるか。
• RQ2 指向付きグラフのどのような構造的性質が、Mobius変換の高速化に利用可能か。
• RQ3 共通性関数を用いることで、Dempsterの結合則のためのより高速なアルゴリズムを導出可能か。
• RQ4 提案された高速Mobius変換の理論的時間計算量は、標準的手法と比較してどの程度であるか。
• RQ5 新しいアルゴリズムは、実用的なエキスパートシステム応用においてどの程度スケーラブルか。

主な発見

• 提案された高速Mobius変換は、与えられたグラフ構造上でMobius変換を計算するための、現在知られている最速のアルゴリズムである。
• 共通性関数の使用により、標準的手法と比較してDempsterの結合則の計算が顕著に高速化される。
• アルゴリズムは、冪集合のラティスおよび部分順序構造の性質を活用することで、計算複雑性を低減する。
• グラフに基づくMobius変換の制約下で、形式的に正しくかつ最適であることが証明されている。
• UAI-1990会議の論文集に示された通り、実用的かつスケーラブルであることが実証された。
• 本稿は、他の不確実性推論フレームワークへ応用可能な基盤的最適化技術を確立した。