[論文レビュー] Computational Complexity of Certifying Restricted Isometry Property

Abhiram Natarajan, Yi Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、行列の制限等長性（RIP）を証明することが、小集合拡張仮説のもとで、等長定数δが小さい定数値であっても、Small-Set-Expansion-hardであることを確立している。著者らは、小集合拡張仮説のもとで、行列が(k, δ)-RIPであるか、(k/C, 1−δ)-RIPから遠く離れているかを区別することは計算的に困難であることを示し、定数の改善されたスparser Cheegerの不等式の新規な変種を用いて証明している。

ABSTRACT

Given a matrix $A$ with $n$ rows, a number $k0$ and any arbitrarily small constant $0

研究の動機と目的

• 与えられたパラメータに対して、行列が制限等長性（RIP）を満たすかどうかを証明する計算複雑性を調査すること。
• 特に、実用的な圧縮センシング応用で関連する小さなδ値において、RIPの証明が容易か困難かを特定すること。
• 従来の結果はδ=o(1)の範囲に限られていたが、任意の定数δ>0においても成立するように、その硬度結果を拡張すること。
• 主な硬度結果を証明するために不可欠な、スパースベクトルのためのCheegerの不等式のよりタイトな変種を開発すること。
• 小集合拡張問題からRIP証明問題へのギャップを保つ還元を確立すること。

提案手法

• RIP条項を形式化する：行列Mが(k, δ)-RIPであるとは、すべてのkスパースなxに対して(1−δ)‖x‖₂ ≤ ‖Mx‖₂ ≤ (1+δ)‖x‖₂が成り立つこと。
• MᵀM = I − (1/d)Aとなる行列Mを構築する。ここでAはd正則グラフGの隣接行列である。
• 正規化ラプラシアンL = I − (1/d)Aを用い、Gのスペクトル的性質をRayleigh商λ_η = min_{‖x‖₀=ηn} (xᵀLx)/‖x‖₂²を通じてRIP証明に関連付ける。
• スパース版のCheegerの不等式の新規な変種を証明する：λ_η ≤ φ_η(G) ≤ √((2−λ_η)λ_η)。これは古典的バージョンよりもタイトである。
• 小集合拡張問題からRIP証明問題へのギャップを保つ還元を実行し、『強くRIPに近い』行列と『RIPから遠い』行列を区別することは計算的に困難であることを示す。
• 不等式T_{1−ε/2}(β)/β ≤ β^{ε/4}を用いて、拡張をスペクトルギャップの観点から評価し、定数δにおいても硬度証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数δ>0に対して、RIP証明が計算的に困難であるかどうか、特にδが小さい場合でも同様に成り立つか？
• RQ2 RIP証明の硬度結果を、δ=o(1)の範囲に限らず、すべての定数δ>0にまで拡張できるか？
• RQ3 スパースベクトルのためのCheegerの不等式のよりタイトな変種が存在するか？ また、そのような変種がより強い硬度結果を確立するために利用可能か？
• RQ4 小集合拡張仮説を用いて、δが小さい値であっても頑健にRIP証明の硬度を示すことができるか？
• RQ5 行列が有界コherenctyなどの追加的な構造的性質を持つ場合でも、RIP証明は困難であるか？

主な発見

• 任意の定数δ>0に対して、行列のRIP証明はSmall-Set-Expansion-hardである。δが任意に小さくても成り立つ。
• 実際に強いRIP（δが小さい）である行列に対しても、そのRIP証明が困難であることが示され、弱いRIPの証明が困難であることを裏付ける。
• スパース版のCheegerの不等式の新規な変種が証明された：φ_η(G) ≤ √((2−λ_η)λ_η)。これは古典的バージョンφ(G) ≤ √(2λ)よりもタイトである。
• スパースCheeger不等式における定数の改善は、硬度結果の証明に不可欠であり、他の応用分野にも利益をもたらす可能性がある。
• 小集合拡張問題からRIP証明問題への還元において、『強くRIPに近い』と『RIPから遠い』状況の間のギャップが、定数δであっても大きく保たれる。
• この結果は、Small-Set-Expansion HypothesisのもとでRIP証明が困難であることを示し、計算的に困難な問題のクラスに位置づけられる。