[論文レビュー] Computational Complexity of Covering Multigraphs with Semi-Edges: Small Cases

Jan Bok, Jiřı́ Fiala+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、半辺（1つの頂点に接続するだけの辺）を含む多重グラフにおけるグラフ被覆の計算複雑性解析を開始し、半辺が頂点写像に加えて明示的な辺写像を必要とするため、問題の難易度を著しく向上させることを示している。1頂点および2頂点の多重グラフに対する半辺を含む被覆の複雑性を完全に分類し、二部グラフ入力でもNP困難であることを示し、特定の条件下（例えば、1頂点ターゲットに対する二部入力）での多項式時間解法が唯一可能であることを同定している。

ABSTRACT

We initiate the study of computational complexity of graph coverings, aka locally bijective graph homomorphisms, for graphs with semi-edges. The notion of graph covering is a discretization of coverings between surfaces or topological spaces, a notion well known and deeply studied in classical topology. Graph covers have found applications in discrete mathematics for constructing highly symmetric graphs, and in computer science in the theory of local computations. In 1991, Abello et al. asked for a classification of the computational complexity of deciding if an input graph covers a fixed target graph, in the ordinary setting (of graphs with only edges). Although many general results are known, the full classification is still open. In spite of that, we propose to study the more general case of covering graphs composed of normal edges (including multiedges and loops) and so-called semi-edges. Semi-edges are becoming increasingly popular in modern topological graph theory, as well as in mathematical physics. They also naturally occur in the local computation setting, since they are lifted to matchings in the covering graph. We show that the presence of semi-edges makes the covering problem considerably harder; e.g., it is no longer sufficient to specify the vertex mapping induced by the covering, but one necessarily has to deal with the edge mapping as well. We show some solvable cases and, in particular, completely characterize the complexity of the already very nontrivial problem of covering one- and two-vertex (multi)graphs with semi-edges. Our NP-hardness results are proven for simple input graphs, and in the case of regular two-vertex target graphs, even for bipartite ones. We remark that our new characterization results also strengthen previously known results for covering graphs without semi-edges, and they in turn apply to an infinite class of simple target graphs with at most two vertices of degree more than two. Some of the results are moreover proven in a more general setting (e.g., finding k-tuples of pairwise disjoint perfect matchings in regular graphs, or finding equitable partitions of regular bipartite graphs).

研究の動機と目的

• 半辺（頂点に1つだけ接続する辺）を含む多重グラフにおけるグラフ被覆の計算複雑性の研究を開始すること。半辺はトポロジカルグラフ理論および数学的物理においてますます重要である。
• 半辺が古典的な辺のみのグラフと比較して、グラフ被覆問題の複雑性にどのように影響を与えるかを調査すること。特に、頂点写像に加えて辺写像を必要とすることに注目する。
• 半辺を含む1〜2頂点の多重グラフに対する被覆の計算複雑性を完全に分類すること。
• 半辺なしの被覆に関する既存の結果を強化し、最大2個の次数 >2 の頂点を持つ単純なターゲットグラフの無限クラスに新しい特徴付けが適用可能であることを示すこと。
• グラフ被覆と辺彩色問題との関係を探索し、特に還元において (b,b)-彩色を用いることによる関連性を明らかにすること。

提案手法

• 3-SATから還元を行い、元の3-SAT式が充足可能である場合に限り、グラフ G が (b,b)-彩色を持つように構成する。変数および節のガジェットを、特定の頂点および辺構造を用いて構築する。
• 各変数に対して 2b+2 個の頂点を持つ変数ガジェットを設計し、K1 および K2 部分グラフを介して接続する。変数のすべての出現における色の整合性は、構造的制約によって強制される。
• 節ガジェットを構築し、小さい側の各頂点の次数を 2b に設定する。これにより、節に含まれる変数のうち正確に b 個が真に設定されている場合に限り、正確に b 個の赤および b 個の青の隣接頂点が得られる。
• (b,b)-彩色を有効な被覆射影の代理として用い、色の割り当てが被覆グラフ内の辺および頂点写像に対応する。
• 背理法による証明により、任意の有効な (b,b)-彩色において、変数のすべての出現が同じ色を持つ必要があることを示し、近傍制約および次数のバランスを活用する。
• 結果をより広い設定に一般化し、正則グラフにおける k 個の互いに素な完全マッチングの組の存在を示し、これにより主な複雑性の主張を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半辺の導入は、古典的な辺のみのグラフと比較して、グラフ被覆問題の計算複雑性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 半辺を許容する場合、1頂点および2頂点の多重グラフに対する被覆の計算複雑性は何か？
• RQ3 半辺の存在が、入力グラフが二部グラフであっても被覆問題をNP困難にすることがあるか？
• RQ4 被覆に半辺を含む場合、多項式時間で解ける条件の構造的または組合せ的特徴付けは存在するか？
• RQ5 半辺なしの被覆に関する結果が、半辺を含む場合にどの程度一般化可能か、特に複雑性分類の観点から。

主な発見

• 1頂点の多重グラフに半辺を含む被覆問題は、入力グラフが二部グラフである場合に多項式時間で解けるが、一般にはNP困難のままである。
• 半辺を含む2頂点ターゲット多重グラフでは、入力グラフの二部性が容易性を保証せず、正則で二部の入力に対しても問題はNP困難のままである。
• 本稿は、半辺を含む1頂点および2頂点の多重グラフに対する被覆の複雑性を完全に分類し、より広い被覆問題の階層における非自明なケースを解決している。
• 被覆問題のNP困難性は、単純な入力グラフに対しても証明されており、特に正則な2頂点ターゲットでは、二部入力に対しても困難性が保たれる。
• 構築されたグラフ G における (b,b)-彩色の特徴付けは、有効な被覆射影と一対一対応する。これにより、3-SATから被覆問題への還元が可能になる。
• 半辺なしの被覆に関する先行結果を強化し、最大2個の次数 >2 の頂点を持つ単純なターゲットグラフの無限クラスに適用可能であることを示している。