[論文レビュー] Computational Complexity of Minimal Trap Spaces in Boolean Networks

Kyungduk Moon, Kangbok Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2022

Gene Regulatory Network Analysis被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ブールネットワークにおける最小のトラップ空間に関連する3つの主要な意思決定問題の計算複雑性を確立している：トラップ空間の検証、最小性の確認、および構成の属するかの判定。一般の場合、これらの問題は Π₂^P-完全であるが、局所関数が単調であるか、真理値表、BDD、二重DNFで符号化される場合には複雑性が coNP-完全に低下する。ネットワークが関数的グラフとして与えられる場合には、すべての問題が多項式時間で解けるようになる。

ABSTRACT

A Boolean network (BN) is a discrete dynamical system defined by a Boolean function that maps to the domain itself. A trap space of a BN is a generalization of a fixed point, which is defined as the sub-hypercubes closed by the function of the BN. A trap space is minimal if it does not contain any smaller trap space. Minimal trap spaces have applications for the analysis of attractors of BNs with various update modes. This paper establishes the computational complexity results of three decision problems related to minimal trap spaces: the decision of the trap space property of a sub-hypercube, the decision of its minimality, and the decision of the membership of a given configuration to a minimal trap space. Under several cases on Boolean function representations, we investigate the computational complexity of each problem. In the general case, we demonstrate that the trap space property is coNP-complete, and the minimality and the membership properties are $Π_2^{ ext P}$-complete. The complexities drop by one level in the polynomial hierarchy whenever the local functions of the BN are either unate, or are represented using truth-tables, binary decision diagrams, or double DNFs (Petri net encoding): the trap space property can be decided in a polynomial time, whereas deciding the minimality and the membership are coNP- complete. When the BN is given as its functional graph, all these problems are in P.

研究の動機と目的

• 与えられた部分ハイパーキューブがブールネットワークにおけるトラップ空間であるかどうかを決定する計算複雑性を特定すること。
• トラップ空間が最小である、すなわちより小さなトラップ空間を含まないことを判定する問題の複雑性を分析すること。
• 与えられた構成がある最小トラップ空間に属するかどうかをテストする問題の複雑性を調査すること。
• 真理値表、BDD、二重DNFなどのブール関数の異なる表現形式、あるいは単調性などの構造的性質が、これらの問題の複雑性に与える影響を検討すること。
• ブールネットワークがその関数的グラフ（同期的状態遷移グラフ）として表現される場合、すべての3つの問題が多項式時間で解けることを確立すること。

提案手法

• 著者らは、ネットワーク関数 f に対して閉じた部分ハイパーキューブとしてトラップ空間を形式化し、最小性をその内部により小さなトラップ空間が存在しないこととして定義する。
• 与えられた構成の集合を含む最小のトラップ空間を計算するために、頂点集合と関数評価を用いた SUB-HYPERCUBE および SATURATE アルゴリズムを導入する。
• 関数的グラフ表現の場合、終端強連結成分（tSCC）を計算するためにタルジャンのアルゴリズムを用い、飽和チェックにより最小性を検証する。
• 一般、単調、真理値表、BDD、二重DNF（ピトゥール・ネット符号化）の各ブール関数表現における複雑性分析を実施する。
• 多項式階層内の既知の問題、特に coNP および Π₂^P-完全問題への還元を用いて、下界を確立する。
• 関数的グラフ入力の場合、すべての3つの問題（トラップ空間、最小性、属するか）が、状態遷移グラフ上で多項式時間のグラフアルゴリズムを活用することで P に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた部分ハイパーキューブがブールネットワークにおけるトラップ空間であるかどうかを決定する計算複雑性は何か？
• RQ2 トラップ空間が最小である、すなわちより小さなトラップ空間を含まないことを判定する問題の複雑性は何か？
• RQ3 与えられた構成が最小トラップ空間に属するかどうかを決定する問題の複雑性は何か？
• RQ4 局所関数が単調であるか、真理値表、BDD、二重DNFなどの構造的フォーマットで符号化される場合、これらの問題の複雑性はどのように変化するか？
• RQ5 ブールネットワークが関数としてではなく、その関数的グラフ（すなわち同期的状態遷移グラフ）として与えられる場合、複雑性はどのように変化するか？

主な発見

• 一般のブールネットワーク表現において、トラップ空間の性質は coNP-完全である。
• 一般の場合、最小性および最小トラップ空間への属するかの判定の両方が Π₂^P-完全である。
• 局所関数が単調であるか、真理値表、BDD、二重DNFで符号化される場合、トラップ空間検証の複雑性は多項式時間に低下するが、最小性および属するかの判定は coNP-完全に低下する。
• ブールネットワークがその関数的グラフ（同期的状態遷移グラフ）として与えられる場合、すべての3つの問題—トラップ空間、最小性、属するか—は多項式時間で決定可能である。
• 特定の頂点集合を含む最小のトラップ空間を計算する SATURATE アルゴリズムは多項式時間で実行可能であり、関数的グラフにおける P-完全性結果の中心的役割を果たす。
• これらの結果は、ネットワークが関数的グラフとして利用可能な場合、これらの問題を効率的に解くことが可能であることを示唆している。これは、モデル検査やシミュレーションツールで一般的に見られる形式である。