[論文レビュー] Computational complexity of PEPS zero testing

Giuseppe Scarpa, András Molnár+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、境界を持つ均一なバルクPEPSに対しても、投影エンタングルドペア状態（PEPS）が恒等的にゼロであるかどうかを決定することはNP困難であることを証明している。さらに、この問題の変種が決定不能であることを示しており、PEPSに基づくハミルトニアンにおける対称性やスペクトルギャップの検証に根本的な制限があることを示唆している。

ABSTRACT

Projected entangled pair states aim at describing lattice systems in two spatial dimensions that obey an area law. They are specified by associating a tensor with each site, and they are generated by patching these tensors. We consider the problem of determining whether the state resulting from this patching is null, and prove it to be NP-hard; the PEPS used to prove this claim have a boundary and are homogeneous in their bulk. A variation of this problem is next shown to be undecidable. These results have various implications: they question the possibility of a 'fundamental theorem' for PEPS; there are PEPS for which the presence of a symmetry is undecidable; there exist parent hamiltonians of PEPS for which the existence of a gap above the ground state is undecidable. En passant, we identify a family of classical Hamiltonians, with nearest neighbour interactions, and translationally invariant in their bulk, for which the commuting 2-local Hamiltonian problem is NP-complete.

研究の動機と目的

• PEPS状態が恒等的にゼロであるかどうかを決定する問題の計算複雑性を調査すること。
• 行列積状態におけるそれらに類似した「基本定理」をPEPSに確立する可能性を評価すること。
• PEPSフレームワーク内での物理的性質（たとえば、対称性の存在やスペクトルギャップ）の決定可能性を調査すること。
• 2局所可換ハミルトニアン問題がNP完全となる、最近接相互作用をもつ古典的ハミルトニアンの族を特定すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題への還元により、PEPSゼロテストのNP困難性を示すこと。
• 複雑性を保持するように境界付きで均一なバルクを持つPEPSの構築。
• テンソルネットワークのパッチルールを用いて状態を定義し、そのゼロ性を分析すること。
• 量子計算における決定不能性の技術を変更したPEPSゼロテスト問題に適応し、決定不能性を示すこと。
• 2局所可換ハミルトニアン問題がNP完全となる、並進不変で最近接相互作用をもつ古典的ハミルトニアンのクラスの特定。
• テンソルの縮約とテンソル割り当ての論理的一致性の観点から問題を形式化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PEPS状態がゼロであるかどうかを決定する問題は、計算的に実行可能であるか、それともNP困難であるか？
• RQ2 行列積状態におけるそれらに類似したPEPSのための基本定理を確立できるか？
• RQ3 PEPS状態における対称性の存在は決定可能か？
• RQ4 PEPSの親ハミルトニアンの基底状態の上にスペクトルギャップが存在するかは決定可能か？
• RQ5 並進不変で最近接相互作用をもつ古典的ハミルトニアンのクラスにおいて、2局所可換ハミルトニアン問題の計算複雑性は何か？

主な発見

• 境界付き均一バルクPEPSに対しても、PEPSゼロテストはNP困難である。
• PEPSゼロテスト問題の変種が決定不能であることが示され、特定の物理的性質の検証に内在的な制限があることを示唆している。
• コアな検証タスクの決定不能性のため、PEPSにおける「基本定理」の存在はほとんどありえない。
• 対称性の存在が決定不能であるPEPSが存在する。
• スペクトルギャップの存在が決定不能であるPEPSの親ハミルトニアンが存在する。
• 2局所可換ハミルトニアン問題がNP完全である、並進不変で最近接相互作用をもつ古典的ハミルトニアンの族が存在する。