[論文レビュー] Computational Complexity of Some Quantum Theories in $1+1$ Dimensions

Saeed Mehraban|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1+1次元における量子散乱モデルの計算複雑性を調査している。粒子を区別可能な球とみなし、弾性衝突によって置換の重ね合わせを生成するモデルである。初期状態が分離可能な場合、モデルはDQC1（古典的かつ効率的なシミュレーションが可能なクラス）に属するが、任意の重ね合わせ状態の下では、後選択を用いてBQP普遍性を達成する。これは、効率的な古典的シミュレーションが可能であるならば、多項式階層が第3レベルに収縮することを示唆する。

ABSTRACT

We study the computational complexity of certain integrable quantum theories in 1+1 dimensions. We formalize a model of quantum computation based on these theories. In this model, distinguishable particles start out with known momenta and initial superposition of different configurations. Then the label of these particles are measured at the end. We prove that additive approximation to single amplitudes of these models can be obtained by the one-clean-qubit model, if no initial superpositions are allowed. However, if arbitrary initial states and non-adaptive intermediate measurements are allowed, we show that conditioned on infinite polynomial hierarchy assumption it is hard to sample from the output distribution of these models on a classical randomized computer. A classical analogue of this model is also formalized and its computational power is pinned down within the complexity classes below BPP and NP.

研究の動機と目的

• 区別可能な粒子が弾性衝突を経験する1+1次元の量子モデルとしての、古典的弾性衝突の量子アナログとしての、量子ボール・パーソーティングモデルの計算複雑性を分析すること。
• 異なる初期重ね合わせ状態の下で、このようなモデルが生成する振幅および分布の複雑性クラスを特定すること。
• 反発的デルタ相互作用における散乱振幅と、中間測定および後選択を用いた普遍的量子計算との間の関係を確立すること。
• 古典的および量子的ボール・パーソーティングモデルを比較し、それぞれの複雑性クラスを明確にすること。

提案手法

• n個の区別可能な粒子に作用する局所的パーソーティングゲートによって生成されるユニタリ回路モデルとして、量子ボール・パーソーティングモデルを形式化する。
• 一貫した散乱過程を特徴付けるために、量子ヤン・バクスター方程式を用い、置換状態に作用するユニタリ演算子を定義する。
• 初期状態が恒等置換の場合、単一振幅の近似を効率的にDQC1モデルで行う。
• 粒子ラベル基底における中間破壊測定を用いてボール・パーソーティングモデルをシミュレートし、後選択を可能にすることで普遍的量子計算を実現する。
• 後選択を用いて散乱モデルを量子回路モデルに還元し、任意の初期重ね合わせが許容される場合、BQPと同等であることを示す。
• 確率的スワップを用いた古典的アナログを分析し、BPLおよびAlmost-Lに含まれることを証明する。さらに、決定的前処理を施すとLOGSPACEと同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区別可能な粒子が弾性衝突を経験する1+1次元量子モデルにおける散乱振幅の近似の計算複雑性は何か？
• RQ2 系の初期状態が、結果として得られる量子計算の複雑性クラスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 散乱モデルにおける中間測定および後選択を用いて、普遍的量子計算をシミュレートできるか？
• RQ4 AC⁰前処理を施した確率的ボール・パーソーティングモデルの古典的計算能力は何か？
• RQ5 任意の初期重ね合わせ状態を持つ散乱モデルを、多項式階層が崩壊しない限り、効率的に古典的にシミュレートすることは可能か？

主な発見

• 初期状態が恒等置換の場合、振幅近似問題はDQC1に属する。これは、1つのクリーン・キュービットを持つ古典的コンピュータによる効率的シミュレーションが可能であることを示唆する。
• 任意の初期重ね合わせ状態の下では、量子ボール・パーソーティングモデルは、標準的量子コンピュータの出力分布を効率的にサンプリングでき、BQP普遍性を示す。
• 反発的デルタ相互作用に基づく後選択型散乱モデルは、普遍的量子計算をシミュレート可能であり、多項式階層が第3レベルに収縮しない限り、効率的な古典的シミュレーションは不可能であることを示す。
• 古典的決定的ボール・パーソーティングモデルはLOGSPACEと同等の計算能力を持つが、確率的バージョンはBPLとAlmost-Lの間にある。
• ターゲット置換確率を計算する古典的問題はP#Pに含まれる。確率が有理数である場合、#Pオракルを用いれば多項式時間で解ける。
• スワップを隣接交換に制限すると、古典的モデルはPに制限される。これは、より高い計算能力を得るには非隣接スワップが不可欠であることを示している。