[論文レビュー] Computational Higher Type Theory I: Abstract Cubical Realizability

Carlo Angiuli, Robert Harper+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、カーンに類似した操作を備えたプログラミング言語に裏付けられた、マーティン・ローフ流意味解釈に基づく、高次元型理論の計算的解釈を提示する。高次元構造が存在する中でも、閉じたブール型の項が常に true もしくは false に評価されることを示す、正規性定理を確立しており、同値性と高次帰納型を備えた、最初の完全な計算的形式化された高次型理論を提供する。

ABSTRACT

Brouwer's constructivist foundations of mathematics is based on an intuitively meaningful notion of computation shared by all mathematicians. Martin-Löf's meaning explanations for constructive type theory define the concept of a type in terms of computation. Briefly, a type is a complete (closed) program that evaluates to a canonical type whose members are complete programs that evaluate to canonical elements of that type. The explanation is extended to incomplete (open) programs by functionality: types and elements must respect equality in their free variables. Equality is evidence-free---two types or elements are at most equal---and equal things are implicitly interchangeable in all contexts. Higher-dimensional type theory extends type theory to account for identifications of types and elements. An identification witnesses that two types or elements are explicitly interchangeable in all contexts by an explicit transport, or coercion, operation. There must be sufficiently many identifications, which is ensured by imposing a generalized form of the Kan condition from homotopy theory. Here we provide a Martin-Löf-style meaning explanation of simple higher-dimensional type theory based on a programming language that includes Kan-like constructs witnessing the computational meaning of the higher structure of types. The treatment includes an example of a higher inductive type (namely, the 1-dimensional sphere) and an example of Voevodsky's univalence principle, which identifies equivalent types. The main result is a computational canonicity theorem that validates the computational interpretation: a closed boolean expression must always evaluate to a boolean value, even in the presence of higher-dimensional structure. This provides the first fully computational formulation of higher-dimensional type theory.

研究の動機と目的

• マーティン・ローフの意味解釈に基づき、高次元型理論の計算的基盤を構築すること。
• 高次元構造が存在する中でも、観察可能な型の閉じた項が正規値に還元されることを保証する正規性の課題に対処すること。
• 明示的な経路と移行操作を用いて、同値性および高次帰納型（例：円）の完全な計算的意味論を提供すること。
• 型理論の操作的意味論に次元名、経路抽象化、および識別を計算可能な変換としてモデルするケン操作を拡張すること。
• ∞-群ガロアの完全な構造（経路の合成、逆元、結合則など）が、計算的に意味を持つように保証されることを検証すること。

提案手法

• 抽象的な区間と高次元立方体をモデル化するため、次元コンテキストおよび次元項（0, 1, および次元変数）を導入する。
• 各次元における閉じた項を正規形に評価する決定的動作的意味論を定義し、次元変数の代入と名前変更を含む。
• 境界条件を一様に満たすために、H-合成（hcom）および移行（coer）操作を導入し、均一なケン条件を保証する。
• 型を次元ごとの項の集合としてモデル化し、等価性は経路に基づく識別と代入における整合性によって定義する。
• 明示的な経路コンストラクタと型同型を用いて、高次帰納型（例：円）および同値性を適用する。
• 型と項を計算的に解釈する意味解釈を確立し、代入と経路操作の下で等価性が閉じていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元型理論に完全な計算的意味解釈を与え、観察可能な型（例：ブール型）に対して正規性を保つことは可能か？
• RQ2 明示的な経路と移行を備えた型理論において、同値性をどのように計算的に実現できるか？
• RQ3 明示的な経路コンストラクタを備えた高次帰納型（例：1次元球面）にどのような計算的意味論を与えることができるか？
• RQ4 ケン操作（hcom, coer）は、高次元構造が存在する中で整合性と一様性をどのように保証するか？
• RQ5 このフレームワークは、経路の合成、逆元、結合則を含む、∞-群ガロアの完全な構造を計算的に意味のある形でサポートできるか？

主な発見

• 次元0における閉じたブール型の項は、常に true または false に評価され、高次元型理論における観察可能な型の計算的正規性が確立される。
• 型同型を明示的な経路として型の間のパスとして解釈することにより、フレームワークは同値性原理を計算的に実現する。
• 円型は基点とループを備え、経路抽象化と移行を用いてその消去原理に計算的意味論が与えられる。
• H-合成操作により、すべての境界条件が一様に満たされ、境界から経路を構成することが可能になる。
• 移行操作により、項を経路に沿って移動させることができ、代入における等価性を保つ明示的な計算規則が備わる。
• システム全体が代入および経路操作に関して閉じており、∞-群ガロアの構造が計算的に実現されている。