[論文レビュー] Computational homogenization of heterogeneous media under dynamic loading

Chenchen Liu, Celia Reina|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Composite Material Mechanics参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、慣性力および体積力を含む任意の荷重条件、特に動的荷重下における不均質材料の計算的均質化のための変分的粗粒度化フレームワークを提示する。これは、FE²法を慣性力や体積力が作用する動的条件下に拡張したものであり、1ステップあたり1回のニュートン・ラプソン反復で、マクロおよびミクロの自由度を同時に解く準明示的マルチスケールソルバー（QEMS）を可能にし、動的状態における分散および収束特性を正確に捉える。

ABSTRACT

A variational coarse-graining framework for heterogeneous media is developed that allows for a seamless transition from the traditional static scenario to a arbitrary loading conditions, including inertia effects and body forces. The strategy is formulated in the spirit of computational homogenization methods (FE$^2$) and is based on the discrete version of Hill's averaging results recently derived by the authors. In particular, the traditional static multiscale scheme is proved here to be equivalent to a direct homogenization of the principle of minimum potential energy and to hold exactly under a finite element discretization. This perspective provides a unifying variational framework for the FE$^2$ method, in the static setting, with Dirichlet or Neumann boundary conditions on the representative volume element; and it directly manifests the approximate duality of the effective strain energy density obtained with these two types of boundary conditions in the sense of Legendre transformation. Its generalization to arbitrary loading conditions and material constitutive relations is then immediate through the incremental minimum formulation of the dynamic problem à la Radovitzky and Ortiz (1999), which, in the discrete setting, is in full analogy to the static problem. These theoretical developments are then translated into an efficient multiscale FE$^2$ computational strategy for the homogenization of a microscopic explicit dynamics scheme, with two noteworthy properties. Firstly, each time incremental problem can be solved exactly with a single Newton-Raphson iteration with a constant Hessian, regardless of the specific non-linearities or history-dependence of the micro-constituents' behavior. Secondly, the scheme concurrently solves for the microscopic and macroscopic degrees of freedom, in contrast to standard approaches based on sequential or nested minimizations.

研究の動機と目的

• 従来のFE²法が静的条件に限定されているという限界を克服し、慣性力および体積力を含む動的荷重条件下に拡張すること。
• 静的から動的状況への滑らかな移行を可能にする統一的変分式を構築し、増分的最小ポテンシャルエネルギー原理に基づく。
• マクロおよびミクロの自由度を同時に解くことを可能にし、逐次的またはネストされた最小化戦略を回避すること。
• 動的状況下での均質化応力と原子論的シミュレーションにおけるバーリン応力の直接的な関連を確立し、スケール間の一貫性を高めること。
• 空間的および時間的離散化にわたって精度を維持する計算的に効率的なマルチスケールソルバー（QEMS）を提供すること。

提案手法

• RadovitzkyとOrtiz（1999）のアプローチに従い、離散有限要素設定に適応した増分的最小ポテンシャルエネルギー原理を用いて動的問題を定式化する。
• ミクロ平衡とマクロ均質化の間の一貫性を保証するため、ヒルの平均化定理の離散版を導出する。
• 変分的粗粒度化戦略を導入し、増分的ポテンシャルエネルギーを直接均質化することで、ルジャンドル変換を介したディリクレ境界条件とノイマン境界条件の間の双対性を保持する。
• 各時間ステップが定数ヘッセ行列のおかげで1回のニュートン・ラプソン反復で正確に解ける準明示的マルチスケールソルバー（QEMS）を実装する。
• スケール分離を保証し、微小変位変異にまつわる対称性を強制するために、代表体積要素（RVE）に周期的境界条件を適用する。
• マクロ場に関する平均化された増分的ポテンシャルエネルギーの変分を取ることで、有効応力および有効ひずみエネルギー密度を導出する。これにより、一貫性のあるマクロ駆動力が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール分離と変分的一致性を保ちつつ、FE²法を静的から動的荷重条件下に一般化する方法は何か？
• RQ2 慣性力および体積力は不均質メディアの均質化にどのように寄与するか。また、それらをマルチスケールフレームワークに一貫的に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ3 1回のニュートン・ラプソン反復で、動的シミュレーションにおいて、ミクロとマクロの連立問題を正確に解くことは可能か。その条件は何か？
• RQ4 提案されたフレームワークは、原子論的シミュレーションにおけるバーリン応力とどのように関連しているか。これにより、スケール間の一貫性にどのような意味が生じるか？
• RQ5 QEMS法は、動的波動伝播問題における分散関係および収束挙動をどの程度正確に予測できるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、慣性力および体積力を含む時間依存問題にまで最小ポテンシャルエネルギー原理の変分的拡張を適用することで、FE²法を動的荷重条件下に一般化した。
• 定数ヘッセ行列のおかげで、各増分的時間ステップが1回のニュートン・ラプソン反復で正確に解けるため、準明示的マルチスケールソルバー（QEMS）を実現した。
• 変分的フレームワークを用いて導出された有効ひずみエネルギー密度は、ルジャンドル変換の意味で、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件の間で正確な双対性を示す。
• 動的状況下での均質化応力は、原子論的シミュレーションで用いられるバーリン応力テンソルと数学的に同等であることが判明し、連続体的および原子論的均質化の間の根本的な類似性が明らかになった。
• 1次元積層複合材料に対する数値結果から、分散特性の正確な予測および空間的・時間的離散化にわたる正確な解への収束が確認された。
• 長さスケールの分離が許容する周波数範囲において、動的挙動を正確に捉えることができ、本手法が不均質材料およびメタマテリアルにおける波動伝播に適用可能であることが妥当性をもって裏付けられた。