[論文レビュー] Computational Interpretations of Markov's principle

Matteo Manighetti|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、制限付き排中律の形式であるEM⁻₁を導入することで、直観的算術におけるマーロフの原理の計算的解釈を提供する。HA + EM⁻₁という洗練された体系を構築し、ヘイティング算術に拡張することで、実現可能性とカリー＝ホワイトフィールド同型を用いて、マーロフの原理が局所的制御を用いた学習プログラムとして実現可能であることを示し、体系が主題還元、選言、存在の性質を満たすことを証明する。これにより、Σ₀¹文の古典的証明からプログラム抽出が可能になる。

ABSTRACT

Intuitionistic first-order logic extended with a restricted form of Markov's principle is constructive and admits a Curry-Howard correspondence, as shown by Herbelin. We provide a simpler proof of that result and then we study intuitionistic first-order logic extended with unrestricted Markov's principle. Starting from classical natural deduction, we restrict the excluded middle and we obtain a natural deduction system and a parallel Curry-Howard isomorphism for the logic. We show that proof terms for existentially quantified formulas reduce to a list of individual terms representing all possible witnesses. As corollary, we derive that the logic is Herbrand constructive: whenever it proves any existential formula, it proves also an Herbrand disjunction for the formula. Finally, using the techniques just introduced, we also provide a new computational interpretation of Arithmetic with Markov's principle.

研究の動機と目的

• 構成的算術におけるマーロフの原理の計算的解釈を提供すること。
• 現代の証明理論を用いて、マーロフの原理の論理的および計算的内容を明確にすること。
• マーロフの原理を内部化しつつ、主題還元と実現可能性を保つ体系（HA + EM⁻₁）を構築すること。
• フレームワークを一般化し、Σ₀¹文の古典的証明を構成的体系に埋め込むこと。

提案手法

• 選言除去の際にのみ適用可能で、結論が存在的命題である場合に限る、排中律の制限形態であるEM⁻₁を導入する。
• HA + EM⁻₁を、EM⁻₁を追加したヘイティング算術の拡張として定義し、カリー＝ホワイトフィールド同型を保つ。
• 局所的制御演算子を用いたラムダ計算に基づくHA + EM⁻₁の実現可能性解釈を確立する。
• マーロフの原理の実現者を、catchとthrowを用いた項として構成し、証拠を探索する学習プロセスをモデル化する。
• HA + EM⁻₁における主題還元を証明し、還元下での型安全性を保証する。
• ∃と∨を保存する新しい負の翻訳を考案し、古典的証明をHA + EM⁻₁に埋め込むことを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主題還元を満たす構成的体系において、マーロフの原理はどのように計算的に解釈可能か？
• RQ2 EM⁻₁という制限付き排中律のルールは、マーロフの原理とどのような論理的関係にあるか？
• RQ3 Σ₀¹文の古典的証明は、負の翻訳を用いてHA + EM⁻₁のような構成的体系に埋め込めるか？
• RQ4 HA + EM⁻₁の実現可能性解釈は、計算可能な証拠の抽出をどのように支援するか？
• RQ5 HA + EM⁻₁は、局所的制御を備えたヘルベルリンの計算体系とどのような関係にあるか？

主な発見

• マーロフの原理は、ヘイティング算術の文脈において、ルールEM⁻₁と論理的に同値である。
• 体系HA + EM⁻₁は主題還元を満たし、計算的解釈の型安全性と整合性を保証する。
• マーロフの原理の実現者として、catchとthrowを用いたラムダ項が構成され、証拠を探索する学習プロセスをモデル化する。
• 体系HA + EM⁻₁は選言および存在の性質を満たし、構成的性質を確認する。
• ∃と∨を保存する新しい負の翻訳が開発され、Σ₀¹文の古典的証明をHA + EM⁻₁に埋め込むことが可能になる。
• このフレームワークにより、Σ₀¹文の古典的証明からプログラム抽出が可能となり、証明の精製技術の適用範囲が拡張される。