[論文レビュー] Computational quantum transport

Xavier Waintal, Michael Wimmer+6 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2024

Quantum and electron transport phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ナノスケール系におけるコherent電子輸送のための散乱理論とグリーン関数形式を統合した包括的で教育的なレビューを提供している。両形式を第一原理から導出し、それらの等価性を証明するとともに、特に再帰的グリーン関数を含む数値アルゴリズムを体系的に分析し、量子デバイスにおける電導度、電流、ノイズの安定的かつ効率的な計算手法を提示している。

ABSTRACT

This review is devoted to the different techniques that have been developed to compute the coherent transport properties of quantum nanoelectronic systems connected to electrodes. Beside a review of the different algorithms proposed in the literature, we provide a comprehensive and pedagogical derivation of the two formalisms on which these techniques are based: the scattering approach and the Green's function approach. We show that the scattering problem can be formulated as a system of linear equations and that different existing algorithms for solving this scattering problem amount to different sequences of Gaussian elimination. We explicitly prove the equivalence of the two formalisms. We discuss the stability and numerical complexity of the existing methods.

研究の動機と目的

• ナノシステムにおける量子輸送の散乱理論とグリーン関数形式を統一的かつ教育的に行い、導出すること。
• 散乱行列とグリーン関数アプローチの間の数学的等価性を確立すること。
• 量子輸送問題を解くために既存のアルゴリズムの数値的安定性と計算複雑度のトレードオフを分析すること。
• 離散格子モデルにおけるリードモード、散乱問題、自己エネルギー埋め込みの定式化を体系化すること。
• 現実的なナノエレクトロニクスデバイスにおける電導度、電流、ノイズの正確で効率的なシミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 散乱問題を線形方程式系として定式化し、ガウスの消去法の系列によって解くことにより、散乱形式を導出する。
• リードハミルトニアンの固有値分解を用いて、伝搬モードと減衰モードを分離し、逆行列がとれない hopping 行列に対しても安定な取り扱いを可能にする。
• フィッシャー＝ルイ関係を適用して、散乱行列と散乱領域のレットグリーン関数を結びつける。
• 一般化された S 行列と適切なモード正規化を用いることで、非直交基底集合に対しても安定なリード問題の定式化を実現する。
• 再帰的グリーン関数（RGF）アルゴリズムを、大規模系のグリーン関数を計算する数値的に安定な手法として開発する。
• ケルディッシュ形式を用いて、電流、ノイズ、および高次相関などの非平衡物理量を計算する。

Figure 1: Sketch of a quasi one-dimensional wire of width $\mathcal{W}$ . The shaded scattering region in the middle symbolizes an arbitrary potential that scatters the plane waves coming from the left into reflected ( $r$ ) and transmitted ( $t$ ) wave.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱理論とグリーン関数理論が、量子輸送においてどのように厳密に導出され、互いに等価であることが示せるか？
• RQ2 量子輸送問題を解くための異なるアルゴリズムの、数値的安定性と計算複雑度のトレードオフは何か？
• RQ3 非可逆な hopping 行列を持つ離散モデルにおいて、リード内の伝搬モードと減衰モードを体系的に取り扱うにはどうすればよいか？
• RQ4 時間反転対称性、チラル対称性などの離散的対称性が、適切なリードモードの構築と輸送問題の簡略化に果たす役割は何か？
• RQ5 再帰的グリーン関数法を、複雑な幾何構造や相互作用を有する現実的なナノスケールデバイスに一般化・安定化して応用するにはどうすればよいか？

主な発見

• 散乱問題は数学的に線形方程式系に等価であり、既存のすべてのアルゴリズムはガウスの消去法の異なる順序に対応している。
• フィッシャー＝ルイ関係とモード分解を用いて、散乱行列とグリーン関数形式の間の等価性が厳密に証明された。
• 再帰的グリーン関数（RGF）アルゴリズムは、大規模系において数値的に安定的かつ効率的であることが示され、適切なモード正規化と組み合わせると特に有効である。
• 本稿では、速度および電流の正規化因子をモードベクトルに取り込むことで、非直交基底集合の取り扱いを体系的に可能にする手法を提供している。
• 一般化された散乱行列 $S_{\text{tp}}$ は伝搬モードと減衰モードを含んでおり、リード内のトンネル効果や減衰の正確な取り扱いを可能にする。
• 本形式は、多体効果、熱電気的応答、スピン電流、量子ノイズを含む多様な物理現象を、統一的な枠組み内で拡張可能である。

Figure 2: Examples of conductance calculations in a two dimensional square lattice. For each example the inset shows the tight-binding system that has been used with the scattering region in black and the first two layers of semi-infinite electrodes in red. Upper left: conductance quantization in a