[論文レビュー] Computations modulo regular chains

Xin Li, Marc Moreno Maza+1 more|ArXiv.org|Mar 21, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モジュラー法と高速多項式算術を用いて、正則チェインを法とする正則GCDおよび正則性判定のための新しいアルゴリズムを提示する。この手法により、多項式系の三角分解が著しく高速化される。本手法は、部分結果式理論とFFTを用いた評価/補間を活用し、既存のMapleおよびMagma実装と比較して数個のオーダーの性能向上を達成する。

ABSTRACT

The computation of triangular decompositions are based on two fundamental operations: polynomial GCDs modulo regular chains and regularity test modulo saturated ideals. We propose new algorithms for these core operations relying on modular methods and fast polynomial arithmetic. Our strategies take also advantage of the context in which these operations are performed. We report on extensive experimentation, comparing our code to pre-existing Maple implementations, as well as more optimized Magma functions. In most cases, our new code outperforms the other packages by several orders of magnitude.

研究の動機と目的

• 多項式系の三角分解における性能ボトルネック、特に正則チェインを法とする正則GCDおよび正則性判定の計算を解消すること。
• 特に正次元の正則チェインに対して、因数分解を伴わない効率的な正則GCDの計算を可能にすること。
• 飽和イデアルを法とするのではなく、基本体上で計算することで、式の肥大化を低減し、繰り返しの中間計算を回避すること。
• 高速多項式算術およびモジュラー法を、三角分解のコア演算に統合すること。
• 大規模で密な多項式系に適したスケーラブルで高性能な実装を提供すること。

提案手法

• 正則GCDの計算の基盤として部分結果式系列を用い、部分結果式が正則GCDとして機能する条件を理論的に確立する。
• FFTに基づく評価/補間技術を用いて、モジュラー算術において部分結果式系列を効率的に計算する。
• 部分結果式系列を一度だけ計算し、正則GCDおよび結果式の両方の計算に再利用することで、重複を回避する。
• 有限体上で算術を実行するためのモジュラー法を用い、式の肥大化を制御するための基本体への還元を行う。
• 飽和イデアルを直接法とするのを避け、基本体上の多項式環で計算することで、オーバーヘッドを低減する。
• 従来のトップダウン的PRS手法に代わり、ボトムアップ戦略を採用することで、高速算術およびモジュラー技術とのより良い統合を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 飽和イデアルが正則でない場合でも、部分結果式多項式が正則チェインを法とする正則GCDとなる条件は何か？
• RQ2 高速多項式算術およびモジュラー法を用いて、正則GCD計算をどのように最適化できるか？
• RQ3 部分結果式系列を、正則GCDと結果式の両方の計算に再利用することで、冗長な計算を削減できるか？
• RQ4 大規模で密な多項式系において、本手法は既存のMapleおよびMagma実装と比較してどの程度の性能向上を達成するか？
• RQ5 中間の分割処理が性能に与える影響は何か？また、新しいアルゴリズムはこのような状況をどのように処理するか？

主な発見

• 新実装は、正則性判定および正則GCD計算において、MapleのRegularChainsライブラリを数個のオーダーも上回る性能を達成した。
• 2変数のランダムな密多項式系では、高速正則性テストは、Mapleの元のRegularizeコマンドと比べて最大3000倍速い。
• 多くの分割を含む3変数の密多項式系においても、新アルゴリズムは、一般のMaple実装よりも著しく速く動作するが、インターフェースのオーバーヘッドのためMagmaの最適化コードに比べてわずかに遅い。
• 高速正則性テストは、次数が30までのシステムにおいて1秒未塔の性能を達成したのに対し、元のMapleコマンドは同様の入力で1000秒以上を要した。
• FFTに基づく評価/補間により、計算コストと式の肥大化が低減され、大規模なシステムの効率的処理が可能になった。
• 本手法は良好にスケーリングする：3変数系で次数が12, 22, 33の場合、新アルゴリズムは300秒未塔で完了したが、旧Mapleバージョンはタイムアウトした。