[論文レビュー] Computer-Aided Derivation of Multi-scale Models: A Rewriting Framework

Bin Yang, Walid Belkhir+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近解析と項書き換え技術を組み合わせることで、マルチスケールモデルを導出するためのコンピュータ支援フレームワークを提示する。導出ステップを書き換え規則としてエンコードすることにより、周期的または薄い構造を持つ楕円型PDEの均質化モデルを体系的かつ再利用可能に生成可能であり、多次元領域、薄い領域、マルチリージョン構成への拡張においても最小限の変更で高い戦略再利用性を達成する。

ABSTRACT

We introduce a framework for computer-aided derivation of multi-scale models. It relies on a combination of an asymptotic method used in the field of partial differential equations with term rewriting techniques coming from computer science. In our approach, a multi-scale model derivation is characterized by the features taken into account in the asymptotic analysis. Its formulation consists in a derivation of a reference model associated to an elementary nominal model, and in a set of transformations to apply to this proof until it takes into account the wanted features. In addition to the reference model proof, the framework includes first order rewriting principles designed for asymptotic model derivations, and second order rewriting principles dedicated to transformations of model derivations. We apply the method to generate a family of homogenized models for second order elliptic equations with periodic coefficients that could be posed in multi-dimensional domains, with possibly multi-domains and/or thin domains.

研究の動機と目的

• 産業的・科学的ソフトウェアにおけるマルチスケールモデルを体系的かつ自動的に導出する手法の不足に対処すること。
• 導出ステップを計算可能な書き換え規則としてエンコードすることで、厳密な漸近解析と実用的モデル導出のギャップを埋めること。
• 周期的または薄い構造を持つ2階楕円型方程式の均質化モデルを、拡張可能な書き換え戦略を通じて自動生成すること。
• 参照証明と変換戦略を分離することで、モデル導出プロセスの再利用性と拡張性を向上させること。
• 手動での再導出を必要としない、汎用的でコンピュータ支援のフレームワークを構築する基盤を提供すること。

提案手法

• フレームワークは、マルチスケールモデル導出を書き換え規則の適用列としてモデル化し、各規則が漸近解析における1ステップに対応する。
• 1次書き換え規則は、PDEの文脈におけるスケーリング、部分積分、漸近展開などの数学的変換をエンコードする。
• 2次書き換え規則（SO戦略）は、1次規則の合成と適用を制御し、複雑なモデルの構造的導出を可能にする。
• 参照モデルの導出をスケleton証明としてエンコードし、その後、複数の次元、薄い領域、マルチリージョンなどのカスタム拡張を用いて一般化する。
• 新しい規則と戦略を定義することでモジュラーに拡張可能であり、既存の証明構造を最小限の変更で維持できる。
• フレームワークは、周期的係数をもつ楕円型PDEの均質化モデルの族に対して検証され、幾何的・物理的構成の多様なケースにおいて再利用性が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近モデル導出を、自動化を可能にする書き換え規則の列として体系的にエンコードできるか？
• RQ2 参照モデル導出を、周期性、薄い構造、マルチドメインなどの複数の物理的・幾何的特徴をサポートするように一般化できるか？
• RQ3 モデルを新しい構成に拡張する際、既存の導出戦略をどの程度再利用できるか？
• RQ4 新しい問題クラスにモデル導出を拡張するための、最小限の新規規則と戦略の集合は何か？
• RQ5 薄い領域＋マルチリージョンなどの複数の拡張を、完全な再導出なしにフレームワークが組み合わせてサポートできるか？

主な発見

• フレームワークは、周期的係数をもつ2階楕円型PDEの均質化モデルの導出を、複数の構成において成功裏にエンコードした。
• 多次元拡張では、1次規則の16.6%と1次戦略の5%が変更されたことから、高い再利用性が示された。
• 薄い領域拡張では、新規の1次規則や戦略を一切必要としなかったことから、同じコア戦略が異なる幾何構造に普遍的に適用可能であることが確認された。
• マルチリージョン拡張では、1つの追加1次規則と最小限の戦略変更のみが必要であったことから、フレームワークの拡張性が裏付けられた。
• 2次戦略はわずかに使用された—多次元ケースでは2つのみ—、高レベルの合成論理が最小限で再利用可能であることが示された。
• 参照証明をモジュラーで規則ベースの変換によって一般化することで、フレームワークは複雑なモデルの体系的かつコンピュータ支援の導出を可能にした。