[論文レビュー] Computer algebra in gravity

Christian Heinicke, Friedrich W. Hehl|ArXiv.org|May 25, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論および関連理論を対象として、重力物理学におけるコンピュータ代数システム（CAS）の包括的サーベイを提示する。Excalc などの記号計算ツールが、抽象テンソルおよび外微分計算を用いて、第二ビアンチ恒等式などの基本的恒等式を自動的に記号的変形によって検証できることを示し、曲率計算の正しさを確認する。

ABSTRACT

We survey the application of computer algebra in the context of gravitational theories. After some general remarks, we show of how to check the second Bianchi-identity by means of the Reduce package Excalc. Subsequently we list some computer algebra systems and packages relevant to applications in gravitational physics. We conclude by presenting a couple of typical examples.

研究の動機と目的

• 重力理論、特に一般相対性理論に適用可能なコンピュータ代数システムの体系的概観を提供すること。
• 曲率計算に生じる複雑で高次のテンソル式を扱う記号計算の有用性を示すこと。
• CAS を用いて、第二ビアンチ恒等式のような幾何的恒等式の自動検証が、人的誤りと作業負荷を削減できることを説明すること。
• 自動不変量計算と同値性テストを用いて、アインシュタイン方程式の正確解の開発と分類を支援すること。
• Fortran コード生成による数値手法との統合や、計量接続重力や量子重力といった高度な理論的枠組みにおける CAS の役割を強調すること。

提案手法

• 外微分計算およびテンソル代数における記号計算を実行するために、Excalc パッケージを備えた Reduce コンピュータ代数システムを用いる。
• 抽象添字表記および微分形式を用いて、曲率テンソルや接続を簡潔に表現する。例：$ R_{\alpha}{}^{\beta} = d\Gamma_{\alpha}{}^{\beta} - \Gamma_{\alpha}{}^{\gamma} \wedge \Gamma_{\gamma}{}^{\beta} $。
• Sheep や GRTensorII、MathTensor といった成分ベースのシステムを用いて、与えられた計量からリッチテンソルおよび曲率不変量の明示的成分を計算する。
• 外微分計算における記号的微分および積の法則を適用し、第二ビアンチ恒等式を検証する：$ dR_{\alpha}{}^{\beta} - \Gamma_{\alpha}{}^{\gamma} \wedge R_{\gamma}{}^{\beta} + \Gamma_{\gamma}{}^{\beta} \wedge R_{\alpha}{}^{\gamma} = 0 $。
• Sheep 内の Classi パッケージを用いて、正確な時空解のペトロフおよびセグレ分類を自動化する。
• MathTensor や GRG EC といったシステムにおける変分法を用いて、作用原理から場の方程式を導出し、統一場理論やアインシュタイン＝マクスウェル系に対しても適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的変形を用いて、一般相対性理論における第二ビアンチ恒等式をコンピュータ代数システムでどのように検証できるか？
• RQ2 任意の時空計量において、曲率テンソルおよびリッチスカラーを計算するのに最も効果的なコンピュータ代数システムおよびパッケージは何か？
• RQ3 記号計算は、座標に依存しない方法で、アインシュタイン方程式の正確解を分類するのをどのように支援できるか？
• RQ4 異なる見た目をした時空計量間の同値性問題を、コンピュータ代数システムはどのように支援できるか？
• RQ5 Fortran コード生成を介して、記号計算を数値手法と統合し、重力場方程式を解くためにどのように活用できるか？

主な発見

• Excalc パッケージを用いた Reduce において、第二ビアンチ恒等式が正常に検証され、記号的式が正確にゼロに評価された。
• Sheep や GRTensorII といった成分ベースのシステムにより、最大 10 個の独立関数を含む計量に対しても、曲率不変量およびリッチテンソルの自動計算が可能になった。
• コンピュータ代数の活用により、一般の場合に 1 成分あたり約 10,000 項にのぼると予想されるリッチテンソル成分の項数が、管理可能な記号的表現にまで削減された。
• Sheep パッケージ、特に Classi モジュールを用いることで、ペトロフ型およびセグレ型を併記した約 200 件の正確解を含む検索可能なオンラインデータベースの構築が可能になった。
• GRG EC や Classym といったコンピュータ代数システムを用いて、一般計量からキリングベクトルおよびテンソル方程式を導出し、解くことに成功した。
• MathTensor および Form を用いた記号計算により、統一場理論におけるラグランジアンから場の方程式を導出し、修正することができるとともに、量子重力のフェニマン図の計算が可能になった。