[論文レビュー] Computer assisted proof for Apwenian sequences related to Hankel determinants

Hao Fu, Guo-Niu Han|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定の生成多項式によって定義される無限個の±1列のApwenian性を、強化された組合せ的技法を用いたコンピュータ支援証明によって提示している。$Φ(1 - x - x^2)$、$Φ(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$、および次数17までの他の列がApwenianであることが示され、これはすべての$n$に対してそのHankel行列式を$2^{n-1}$で割ったものが奇数であることを意味する。このことは、複雑なケースに対して最適化されたC言語コードを用いたアルゴリズム的計算により検証された。

ABSTRACT

An infinite $\pm 1$-sequence is called {\it Apwenian} if its Hankel determinant of order $n$ divided by $2^{n-1}$ is an odd number for every positive integer $n$. In 1998, Allouche, Peyrière, Wen and Wen discovered and proved that the Thue--Morse sequence is an Apwenian sequence by direct determinant manipulations. Recently, Bugeaud and Han re-proved the latter result by means of an appropriate combinatorial method. By significantly improving the combinatorial method, we prove that several other Apwenian sequences related to the Hankel determinants with Computer Assistance.

研究の動機と目的

• Hankel行列式に関連する新しい無限個の±1列のApwenian性を同定し、証明すること。
• Thue–Morse列がApwenianであるという既知の結果を、再帰的積生成関数によって定義されるより広いクラスの列へと拡張すること。
• 従来の代数的技法では失敗する場合に、洗練された組合せ的技法とコンピュータ支援を組み合わせてApwenian性を検証すること。
• 閉形式の行列式表現が得られない複雑な生成多項式を持つ列について、アルゴリズム的計算を用いてApwenian性を証明する可能性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、無限積$\Phi(\tilde{\bf v}(x)) = \prod_{k=0}^\infty \tilde{\bf v}(x^{d^k})$によって定義される列のHankel行列式の構造を分析するための一般化された組合せ的技法を用いる。ここで$\tilde{\bf v}(x)$は次数$d-1$の±1多項式である。
• インデックスの基数$d$表現に基づいて、$U_n$、$V_n$、$W_n$などの列の再帰的関係を定義し、それらの値を2を法として追跡することで、Hankel行列式の偶奇を特定する。
• この手法は、異なる列の族（例：UVW → XYZ）間の変換ルールを用いた記号的扱いを含み、状態は2進法での値を表す文字と数字の組み合わせの文字列として符号化される。
• Apwen.pyと呼ばれるカスタムプログラムを用いて、列の状態を自動計算し、すべての$n$に対して$H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$が成り立つことを検証する。大規模なケースでは、C言語に書き直すことで性能を向上させた。
• アルゴリズムは、列の再帰的構造をシミュレートし、各項の寄与度を2を法として追跡することで、Hankel行列式の偶奇を確認する。
• 例えば$F_{13}$や$F_{17a/b}$のような列では、計算に長時間（Pythonで11時間、C言語で24コアで7日間）を要し、スケーラビリティと最適化の必要性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の生成多項式によって定義されるThue–Morse列以外の新しいApwenian列は存在するか？
• RQ2 次数$d > 2$の±1多項式$\tilde{\bf v}(x)$によって定義される$\Phi(\tilde{\bf v}(x))$の列について、Apwenian性を証明できるか？
• RQ3 閉形式の行列式表現が得られない場合に、組合せ的技法を体系的に洗練・自動化し、Apwenian性を検証できるか？
• RQ4 高次多項式を生成関数とする列のApwenian性を検証する計算複雑度は何か？そして、それをどのように低減できるか？

主な発見

• Thue–Morse列$F_2(x) = \Phi(1 - x)$はApwenianであることが確認され、Alloucheら（1998年）の元の結果が再確認された。この結果は、コンピュータ支援証明によって再検証された。
• 列$F_3(x) = \Phi(1 - x - x^2)$、$F_5(x) = \Phi(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$、$F_{11}(x)$、$F_{13}(x)$、および$F_{17a}(x)$と$F_{17b}(x)$もすべてApwenianであることが証明された。
• $F_{13}(x)$の証明には、標準的なコンピュータで11時間の計算時間が必要だった。
• $F_{17a}(x)$および$F_{17b}(x)$の証明には、プログラムをC言語に再実装し、24コアで7日間の計算を要した。これは、高次多項式を持つケースの計算の高負荷性を示している。
• 上記の列すべてについて、すべての$n$に対して$H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$が成り立つことが成功裏に検証され、Apwenian性が確認された。
• リストに$F_7(x)$が含まれないことは、7次多項式によって生成されるすべての列がApwenianであるとは限らないことを示しており、背後にある条件に非自明な構造がある可能性を示唆している。