[論文レビュー] Computer Simulations of 3d Lorentzian Quantum Gravity

J. Ambjørn, J. Jurkiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2000

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、動的三角形分割された因果的時空のモンテカルロシミュレーションを用いて、3次元ローレンツ型量子重力を探求する。臨界逆結合定数 $k_0^c$ における一次相転移を特定し、$k_0^c$ より小さい幾何学的構造は、$k_0$ に依存しない普遍的なスケーリングを示す拡張された半古典的宇宙を形成しており、これは $k_0$ に依存しない一意の連続極限を示している。

ABSTRACT

We investigate the phase diagram of non-perturbative three-dimensional Lorentzian quantum gravity with the help of Monte Carlo simulations. The system has a first-order phase transition at a critical value $k_0^c$ of the bare inverse gravitational coupling constant $k_0$. For $k_0 > k_0^c$ the system reduces to a product of uncorrelated Euclidean 2d gravity models and has no intrinsic interest as a model of 3d gravity. For $k_0 < k_0^c$, extended three-dimensional geometries dominate the functional integral despite the fact that we perform a sum over geometries and no particular background is distinguished at the outset. Furthermore, all systems with $k_0 < k_0^c$ have the same continuum limit. A different choice of $k_0$ corresponds merely to a redefinition of the overall length scale.

研究の動機と目的

• コンピュータシミュレーションを用いて、3次元ローレンツ型量子重力の非摂動的相図を調査すること。
• ユークリッド型動的三角形分割とは異なり、ローレンツ型モデルでは拡張的でマクロな幾何学的構造が出現するかどうかを特定すること。
• 裸の逆重力結合定数 $k_0$ が幾何学的構造と連続極限に与える影響を調査すること。
• 異なる $k_0 < k_0^c$ の値が、物理的に異なる理論を生じるのか、それとも同一の連続極限物理のスケーリング版にすぎないのかを検証すること。
• 相関関数と空間体積分布を用いて、量子幾何学の半古典的挙動を評価すること。

提案手法

• 3次元ローレンツ型量子重力のシミュレーションを、(3,1)、(1,3)、(2,2) の四面体を基本構成要素とする動的三角形分割因果的モデルを用いて実施する。
• 因果的構造と固定された時間厚さ $T$ を保存する5つの局所的更新手順を含むモンテカルロアルゴリズムを実装する。
• $S^1 \times S^2$ の三角形分割の上での分配関数 $Z(k_0, k_3, T)$ を定義し、ユークリッド作用 $S_E = -k_0 N_0 + k_3 N_3$ を用いる。
• 空間体積分布 $N_{31}(t)$ と時間並進不変相関関数 $C(\Delta) = \frac{1}{T^2} \sum_t \langle N_{2s}(t) N_{2s}(t+\Delta) \rangle$ を測定する。
• 理論的モデルとして、空間的切断スケールで固定半径を持つ3次元球面 $S^3$ を仮定し、$C(\Delta)$ をフィットして半径 $R_{S^3}$ を抽出する。
• スケーリング解析 $R_{S^3}(N_3) = N_3^\alpha$ を用いて臨界指数 $\alpha$ を決定し、$k_0$ の値にわたる普遍性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ローレンツ型量子重力において一次相転移が発生するか。その臨界値 $k_0^c$ は何か。
• RQ2 $k_0 < k_0^c$ の場合に、拡張的でマクロな幾何学的構造が経路積分を支配するか。また、それらは半古典的挙動を示すか。
• RQ3 $k_0^c$ より小さい領域における理論の連続極限は $k_0$ に依存するか。それとも異なる $k_0$ 値が物理的に異なる理論を生じるか。
• RQ4 宇宙の幾何学的構造は古典的 $S^3$ 解で記述可能か。空間時間体積 $N_3$ に対してそのサイズを支配するスケーリング指数 $\alpha$ は何か。
• RQ5 時間および空間リンクのスケーリング関数 $f_{ti}(k_0)$ と $f_{sp}(k_0)$ が等しいか。これは、全体的な長さスケール依存性が一意であることを示唆する。

主な発見

• 一次相転移は $k_0^c = 6.64$ で発生し、$k_0 > k_0^c$ の領域では相関のない2次元ユークリッド幾何学の相と、$k_0 < k_0^c$ の領域では拡張的で物理的に意味のある3次元幾何学の相に分かれる。
• $k_0 < k_0^c$ の場合、明確な時間厚さ $T_u$ を有する拡張的で半古典的な宇宙が観測され、相関関数 $C(\Delta)$ は半径 $R_{S^3}$ を持つ $S^3$-型幾何学とよく一致し、$R_{S^3}$ は $N_3^{0.34 \pm 0.02}$ のスケーリングを示す。
• スケーリング指数 $\alpha = 0.34 \pm 0.02$ は、$T_u$ を測定する複数の方法にわたって安定しており、幾何学の本質的な3次元性を裏付けている。
• 異なる $k_0 < k_0^c$ の値に対して、時間リンクと空間リンクのスケーリングにより、空間体積分布と相関関数を同一に再スケーリング可能であり、$f_{ti}(k_0) = f_{sp}(k_0)$ が数値的精度内で成立する。
• $k_0 < k_0^c$ のすべての系は、$k_0$ によって決定される全体的な長さスケールを除いて、同一の連続極限を持つ。これは、量子重力領域における普遍性を示している。
• ユークリッド型モデルとは異なり、退化的・病理的幾何学的構造が存在しないことから、$d \geq 3$ の領域においてローレンツ型モデルはより病理的でない可能性が示唆される。