[論文レビュー] Computer-supported Analysis of Positive Properties, Ultrafilters and Modal Collapse in Variants of G\"odel's Ontological Argument

Christoph Benzmüller, David Fuenmayor|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2019

Semantic Web and Ontologies参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Isabelle/HOLにおけるコンピュータ支援証明を用いて、スコット、アンドerson、フィッティングの3つのゲーデルの存在証明の変種を形式的に分析している。正の性質の内挿と拡張におけるモーダル超フィルターを導入・適用することで、アンドersonおよびフィッティングの変種がモーダル崩壊を回避することを示しており、フィッティングのアプローチは剛性のある性質の拡張におけるδ-超フィルターに依存している。一方、スコットのバージョンは内挿的性質におけるγ-超フィルターに起因し、モーダル崩壊を引き起こす。

ABSTRACT

Three variants of Kurt G\"odel's ontological argument, proposed by Dana Scott, C. Anthony Anderson and Melvin Fitting, are encoded and rigorously assessed on the computer. In contrast to Scott's version of G\"odel's argument the two variants contributed by Anderson and Fitting avoid modal collapse. Although they appear quite different on a cursory reading they are in fact closely related. This has been revealed in the computer-supported formal analysis presented in this article. Key to our formal analysis is the utilization of suitably adapted notions of (modal) ultrafilters, and a careful distinction between extensions and intensions of positive properties.

研究の動機と目的

• ゲーデルの存在証明の3つの変種（スコット、アンドerson、フィッティング）の整合性およびモーダル行動を形式的に評価すること。
• 一般的に望ましくない結果と見なされる、ϕ → □ϕ という形のモーダル崩壊の問題を解消すること。
• 正の性質の文脈において、世界依存の性質（内挿）と世界独立の性質（拡張）の哲学的・論理的差異を明確にすること。
• 正の性質の制限的取り扱い（拡張に適用）が、モーダル超フィルターを形成することを形式的に確立し、これがモーダル崩壊を回避する鍵であることを示すこと。
• アンドersonおよびフィッティングの変種の論理的構造を統合的・比較的に分析し、表面的な違いがあるものの、それらが数学的に同等であることを明らかにすること。

提案手法

• イザベール/HOL証明支援系内での、インテンショナル高階モーダル論理（IHOML）の浅い意味的埋め込み（SSE）を、チャーチの単純型理論（HOL）に適用すること。
• モーダル論理KおよびS5を符号化し、命題的（de dicto）および事物的（de re）読みの主要定理を表現するため、量化を伴うモーダル論理へ拡張すること。
• 2種類の超フィルターを定義・形式化する：内挿的性質（世界依存）におけるγ-超フィルター、および剛性のある拡張（世界独立）におけるδ-超フィルター。
• 自動およびインタラクティブ定理証明ツール（例：Nitpick）を用いて、整合性、反例モデル生成、モーダル崩壊およびバーハンの公式の妥当性を検証すること。
• 元来の正の性質の概念（P）と、拡張に適用される制限的バージョン（P′）を区別し、それらの超フィルター性を分析すること。
• 普遍的な論理的推論アプローチを用いて、非古典論理のための既存の高階定理証明インfraを再利用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコット、アンドerson、フィッティングのゲーデルの存在証明の変種の論理的構造は、整合性およびモーダル行動の観点からどのように比較できるか？
• RQ2 スコットの変種は、表面的には類似した形式を持つにもかかわらず、なぜモーダル崩壊を引き起こすのに対し、アンドersonおよびフィッティングの変種はそれを回避するのか？
• RQ3 内挿的性質と拡張的性質の違いが、正の性質の集合がモーダル超フィルターを形成するかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 P（内挿的正の性質）とP′（拡張的正の性質）の区別が、アンドersonおよびフィッティングの変種がモーダル崩壊を回避する理由を説明できるか？
• RQ5 異なる形式的表現を持つにもかかわらず、アンドersonおよびフィッティングの変種はどの程度数学的に同等と見なせるか？

主な発見

• スコットの変種は、正の性質の概念Pが内挿的性質におけるγ-超フィルターを形成するため、ϕ → □ϕ という形のモーダル崩壊を引き起こす。
• アンドersonの変種は、正の性質の概念P自体がγ-超フィルターを形成しないが、制限的バージョンP′（拡張に適用）がγ-超フィルターを形成するため、モーダル崩壊を回避する。
• フィッティングの変種は、正の性質の概念を拡張にのみ適用する形に再定義することで、モーダル崩壊を回避しており、このP′がδ-超フィルターを形成する。このδ-超フィルターは、モーダル崩壊を遮断するのに十分である。
• アンドersonおよびフィッティングの変種の整合性は、Isabelle/HOLとNitpickを用いて確認され、モーダル崩壊およびバーハンの公式の反例モデルが生成された。
• 実在的量化子を用いる場合、バーハンの公式およびその逆は、型γ（内挿的性質）では妥当であるが、型e（個体）では妥当でない。これは、型および量化子の選択に敏感であることを示している。
• 表面的な形式的差異があるものの、アンドersonおよびフィッティングの変種は、両者とも、正の性質の全概念Pではなく、制限的P′がモーダル超フィルターであることを必要とする点で数学的に同等である。