[論文レビュー] Computer validated proofs of a toolset for adaptable arithmetic

Sylvie Boldo, Marc Daumas+2 more|OpenGrey (Institut de l'Information Scientifique et Technique)|Jul 19, 2001

Numerical Methods and Algorithms参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、浮動小数点展開とオンライン算術を用いた高精度演算の形式的検証済みで柔軟な数値コアを提示する。コアは4つのツールから構成され、主要な算術演算を処理する$Σ_3$演算子がCoq証明支援システムを用いて正しく証明されており、妥当な数学的事実に基づいた信頼性の高い、アプリケーション固有のライブラリおよび形式的証明の構築を可能にする。

ABSTRACT

Most existing implementations of multiple precision arithmetic demand that the user sets the precision {\em a priori}. Some libraries are said adaptable in the sense that they dynamically change the precision of each intermediate operation individually to deliver the target accuracy according to the actual inputs. We present in this text a new adaptable numeric core inspired both from floating point expansions and from on-line arithmetic. The numeric core is cut down to four tools. The tool that contains arithmetic operations is proved to be correct. The proofs have been formally checked by the Coq assistant. Developing the proofs, we have formally proved many results published in the literature and we have extended a few of them. This work may let users (i) develop application specific adaptable libraries based on the toolset and / or (ii) write new formal proofs based on the set of validated facts.

研究の動機と目的

• 操作ごとに精度を動的に調整する数値コアを設計し、最終的な結果の正確性を保証する。固定精度の制限を回避する。
• Coq証明支援システムを用いてコア内の算術演算を形式的に検証し、正しさを保証し、実装エラーを排除する。
• 応用固有の柔軟なライブラリの構築と、増加する検証済み数学的事実に基づく新しい形式的証明の実現のための基盤を提供する。
• 複数精度算術における静的誤差解析の限界を克服し、実行時における精度の適応を可能にする。

提案手法

• 数値コアは4つのツールに分解される：部分積生成（PP）、優先度キュー（PQ）、マージ（MQ）、および和（Σ₃）。これにより、動的精度スケーリングが可能になる。
• Σ₃演算子は浮動小数点展開を用いて算術演算を実行し、積の上位部と下位部を組み合わせることで正確性を維持する。
• システムは部分積を管理するための優先度キューを用い、値の比較ではなくキーに基づく比較により、出力を大きさの順に整列させる。
• 非復元除算を採用し、誤差の境界とループ条件を用いることで、剰余の低減と精度制御を保証する。
• 証明はすべてCoq内で実施され、以前のセクションで得られた形式的境界と定理に依存しており、低レベルの浮動小数点の仮定を避ける。
• 中間値は、必要な入力が十分に揃った場合にのみ生成され、必要に応じて凍結・再開される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 操作ごとに精度を動的に調整しつつ、正しさを保証する数値コアはどのように設計できるか？
• RQ2 浮動小数点誤差が存在する中で、適応的算術演算の正しさを検証する形式的証明技法は何か？
• RQ3 形式的検証済みの算術コアは、応用固有のライブラリおよび新しい形式的証明の信頼できる基盤として機能できるか？
• RQ4 中間結果の精度はどのように管理すれば、過剰評価を避けながら最終的な正確性を保証できるか？

主な発見

• $Σ_3$演算子は、浮動小数点展開を用いてコア算術演算を実行するが、Coq証明支援システムを用いて形式的に正しく証明されている。
• システムは除算における剰余がほぼ線形に減少することを保証しており、妥当な誤差境界下では4 ulps以内に誤差が制限される。
• Σ₃に関する主要定理の証明は、以前の定理から得られる上界と下界にのみ依存しており、低レベルの浮動小数点の仮定を避ける。
• ツールセットにより、ユーザーが複雑な浮動小数点実装の詳細から保護され、応用固有の柔軟なライブラリの構築が可能になる。
• 検証済みの事実が新たな形式的証明を書くための信頼できる基盤を形成しており、低レベルの検証の必要性が減少する。
• システムは部分積を大きさの順に生成し、待ち行列の適切な処理と優先度ベースのマージを正しく実行する。