[論文レビュー] Computing a Finite Size Representation of the Set of Approximate Solutions of an MOP

Oliver Schuetze, Carlos A. Coello Coello+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2008

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多目的最適化（MOP）における$ε$-効率的解の集合の有限かつタイトな近似を計算するための、新しいアーカイビング戦略を提案する。確率的収束保証とハウスドルフ距離に基づく品質バウンダリーを活用することで、制御された近似誤差を有する有限サイズのアーカイブを保証し、連続的および離散的MOP（トレース設計問題やナップサック問題を含む）において実証的に検証された。

ABSTRACT

Recently, a framework for the approximation of the entire set of $ε$-efficient solutions (denote by $E_ε$) of a multi-objective optimization problem with stochastic search algorithms has been proposed. It was proven that such an algorithm produces -- under mild assumptions on the process to generate new candidate solutions --a sequence of archives which converges to $E_ε$ in the limit and in the probabilistic sense. The result, though satisfactory for most discrete MOPs, is at least from the practical viewpoint not sufficient for continuous models: in this case, the set of approximate solutions typically forms an $n$-dimensional object, where $n$ denotes the dimension of the parameter space, and thus, it may come to perfomance problems since in practise one has to cope with a finite archive. Here we focus on obtaining finite and tight approximations of $E_ε$, the latter measured by the Hausdorff distance. We propose and investigate a novel archiving strategy theoretically and empirically. For this, we analyze the convergence behavior of the algorithm, yielding bounds on the obtained approximation quality as well as on the cardinality of the resulting approximation, and present some numerical results.

研究の動機と目的

• 連続的多目的最適化（MOP）において、$ε$-効率的解の集合が$n$次元の対象を形成するという実用的制限を解決すること。
• 近似解の集合（$E_{ε}$）の有限サイズ表現を、タイトかつ計算的に扱いやすい形で開発すること。
• 近似品質（ハウスドルフ距離で測定）および得られるアーカイブの基数に関する理論的バウンダリーを提供すること。
• ベンチマークMOP（連続的トレース設計問題および離散的ナップサック問題を含む）において、本手法の実証的妥当性を検証し、解の多様性と意思決定支援の向上を示すこと。

提案手法

• 確率的意味での$ε$-効率的解の集合への収束を保証しながら、動的に有限個の候補解を維持する新しいアーカイビング戦略を導入する。
• ハウスドルフ距離を用いた距離ベースの選択メカニズムを採用し、近似品質を測定するとともに、アーカイブサイズを制御する。
• 確率的収束解析を適用して、ハウスドルフ誤差およびアーカイブの最大基数に関する理論的バウンダリーを導出する。
• 新しいアーカイバを統合した変更版の進化的戦略を用い、コンact領域$Q$内でのパラメータ空間の探索と解の収集を実施する。
• 基準解の周囲に注目領域を定義するための許容誤差パラメータ$\Delta$を導入し、望ましい点の近傍の近似解の特定を可能にする。
• スカラライゼーションと支配に基づくフィルタリングを用いて、アーカイブ内での非支配的および$ε$-効率的解の維持を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的MOPにおいて、理論的保証を伴う有限サイズのアーカイブを構築し、$ε$-効率的解の集合をタイトに近似できるか？
• RQ2 有限アーカイブと真の$ε$-効率的解の集合との間のハウスドルフ距離に関する理論的バウンダリーは何か？
• RQ3 アーカイブの基数は、問題の次元および所望の近似精度に関してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 提案されたアーカイビング戦略は、望ましい設計に近い多様な近似解のセットを提供することで、意思決定をどのように向上させられるか？

主な発見

• 連続的トレース設計問題において、$\Delta = 0$の条件下で、4分21秒で収束し、最終的なアーカイブが8377要素で、ハウスドルフ距離は約0.0005を達成した。
• $\Delta = 0.0001$の条件では、同じ問題に対して11分17秒を要し、よりタイトな近似とより小さいハウスドルフ誤差が得られた。
• $n=30$の{0,1}-ナップサック問題において、$\epsilon = (2,2)$および$\Delta = 0.1$の条件下で、最終的なアーカイブが182要素であり、基準点$x_0$の0.6%以内の近似解が7つ含まれていた。
• $x_0$の近傍に位置する7つの近似解は、パラメータ空間において顕著に異なる—最大で12個のアイテムが異なっていた—これにより、近似解が意思決定において意味のある多様性を提供することが示された。
• 本手法は、近似誤差およびアーカイブサイズの両面で理論的バウンダリーを有する有限かつ高品質な$E_{\epsilon}$の近似を生成し、実用的利用可能性を保証した。
• 数値結果は、近似解を考慮することで、解の品質を損なわずに意思決定者にとっての実行可能な選択肢の数を増加させられることを確認した。