[論文レビュー] Computing Approximate Nash Equilibria in Polymatrix Games

Argyrios Deligkas, John Fearnley+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2014

Game Theory and Applications参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、最大レジストの勾配降下を用いて、任意の δ > 0 に対して (0.5 + δ)-ナッシュ均衡を多行列ゲームで多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。この手法は、Tsaknakis-Spirakis のアプローチを複数プレーヤー設定に拡張し、戦略数に依存しない定数近似保証を達成する。また、2人プレーヤーのベイジアンゲームに対しても適用可能である。

ABSTRACT

In an $ε$-Nash equilibrium, a player can gain at most $ε$ by unilaterally changing his behaviour. For two-player (bimatrix) games with payoffs in $[0,1]$, the best-known$ε$ achievable in polynomial time is 0.3393. In general, for $n$-player games an $ε$-Nash equilibrium can be computed in polynomial time for an $ε$ that is an increasing function of $n$ but does not depend on the number of strategies of the players. For three-player and four-player games the corresponding values of $ε$ are 0.6022 and 0.7153, respectively. Polymatrix games are a restriction of general $n$-player games where a player's payoff is the sum of payoffs from a number of bimatrix games. There exists a very small but constant $ε$ such that computing an $ε$-Nash equilibrium of a polymatrix game is \PPAD-hard. Our main result is that a $(0.5+δ)$-Nash equilibrium of an $n$-player polymatrix game can be computed in time polynomial in the input size and $\frac{1}δ$. Inspired by the algorithm of Tsaknakis and Spirakis, our algorithm uses gradient descent on the maximum regret of the players. We also show that this algorithm can be applied to efficiently find a $(0.5+δ)$-Nash equilibrium in a two-player Bayesian game.

研究の動機と目的

• 多行列ゲーム（n人プレーヤーで要約表現されたゲームのクラス）における近似ナッシュ均衡を計算する多項式時間アルゴリズムの開発。
• 2行列ゲームの Tsaknakis-Spirakis アルゴリズムを、プレーヤー数や戦略数に依存しない定数近似保証を有する多プレーヤー多行列ゲームに拡張すること。
• 任意の δ > 0 に対して、(0.5 + δ)-ナッシュ均衡を、入力サイズおよび 1/δ の多項式時間で計算できることを示すこと。
• 2人プレーヤーのベイジアンゲームに対してもこの手法を拡張し、その広範な適用可能性を示すこと。
• n人プレーヤーゲームにおける近似均衡の計算の困難さに対処し、近似要因が有界な扱いやすい解法を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、全プレーヤーにわたる最大レジストに対する勾配降下を用いて、戦略プロファイルを段階的に改善する。
• 戦略プロファイルを維持し、最高応答報酬と現在の報酬との差（レジスト）を最小化する更新を行う。
• 多行列ゲームの「2行列の和」としての構造に適合させた、Tsaknakis-Spirakis アルゴリズムを出発点とし、それを拡張する。
• 更新ルールにより、最大レジストが時間とともに減少し、(0.5 + δ)-ナッシュ均衡に収束する。
• 2人プレーヤーのベイジアンゲームに対しては、均衡性質を保存する変換を用いて多行列ゲームに還元することで、この手法を適用する。
• 収束は、入力サイズおよび 1/δ に対して多項式時間で保証され、δ は近似精度を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多行列ゲームにおいて、定数要因近似ナッシュ均衡を多項式時間で計算できるか？
• RQ2 Tsaknakis-Spirakis アルゴリズムを、近似保証が有界なn人プレーヤー多行列ゲームに一般化できるか？
• RQ3 多行列ゲームにおいて、多項式時間で達成可能な最良の近似要因は何か？ 0.5 を超える改善は可能か？
• RQ4 レジストに基づく勾配降下アプローチを、情報が不完全なベイジアンゲームに拡張できるか？
• RQ5 多行列ゲームにおいて、0.5 + δ よりも良い近似を達成する多項式時間アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 任意の δ > 0 に対して、n人プレーヤー多行列ゲームの (0.5 + δ)-ナッシュ均衡を、入力サイズおよび 1/δ の多項式時間で計算可能である。
• アルゴリズムは、プレーヤー数や戦略数に依存しない定数近似保証 0.5 + δ を達成する。
• 2人プレーヤーのベイジアンゲームに対しても適用可能であり、多項式時間で (0.5 + δ)-ベイジアンナッシュ均衡を計算可能である。
• 全プレーヤーにわたる最大レジストの最小化を勾配降下で行うというアプローチにより、近似均衡への収束が保証される。
• n人プレーヤーゲームの既存の境界は n が増加するにつれて 1 に近づく傾向にあるが、本研究は非自明な定数近似を提供する。
• PPAD-hardness であるにもかかわらず、多行列ゲームにおける近似均衡の多項式時間計算が可能であることを示している。