[論文レビュー] Computing Arakelov class groups

René Schoof|ArXiv.org|Jan 24, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、数体の類群と正規化の計算のための Buchmann のアルゴリズムを、Arakelov 類群の枠組みの中で再解釈し、そのアルゴリズムが自然に削減された Arakelov 除数の上で動作することを示している。また、Shanks の手法と Lenstra の手法の背後にあるインfrastrucure が、Arakelov 類群と同型であることを確立し、基本単位の効率的な計算を可能にするために、向き付けられた Arakelov 類群を導入することで、類群と正規化の計算が部分指数的時間で行えることを示している。

ABSTRACT

Shanks's infrastructure algorithm and Buchmann's algorithm for computing class groups and unit groups of rings of integers of algebraic number fields are most naturally viewed as computations inside Arakelov class groups. In this paper we discuss the basic properties of Arakelov class groups and of the set of reduced Arakelov divisors. As an application we describe Buchmann's algorithm in this context.

研究の動機と目的

• Arakelov 理論を用いて Buchmann のアルゴリズムの自然な代数的幾何的設定を提供すること。
• 実二次体におけるインフラストラクチャ現象において、削減された Arakelov 除数の果たす役割を明確にすること。
• 向き付けられた Arakelov 類群への枠組みの拡張により、基本単位の明示的計算を可能にすること。
• 体積推定と格子削減の分析を通じて、Buchmann のアルゴリズムが部分指数的時間で動作することを示すこと。
• 削減された除数上のジャンピングアルゴリズムを用いて、基本単位の効率的かつコンactな表現を可能にすること。

提案手法

• 論文は、有限素点に対して $\mathbb{Z}$ を、無限素点に対して $\mathbb{R}$ を係数とする、Arakelov 除数群の主除数による商として $\mathrm{Pic}_F^0$ を定義する。
• Shanks のインフラストラクチャにおける削減された二進形式に類似した、$\mathrm{Pic}_F^0$ の代表元としての削減された Arakelov 除数を導入する。
• アルゴリズムは、$f \in \mathcal{O}_F^*$ に対する主除数 $(f)$ の基底を、削減された除数上のジャンピング手順を用いて計算し、理想の同値関係とノルム近似を追跡する。
• Arakelov 類群の体積推定と格子削減を用いて、計算された部分群 $H'$ が $H$ に等しいことを確認し、類群構造の正しさを保証する。
• 単位群の計算のために、向き付けられた Arakelov 類群 $\widetilde{\mathrm{Pic}}_F^0$ を導入し、複素埋め込み $\sigma(\varepsilon)$ の追跡を可能にすることで、基本単位の再構成を可能にする。
• 小さな要素 $g$ を $\sigma(g)$ を用いて近似し、その後 $\varepsilon_j = \sum \lambda_{ij} \omega_j$ を有界係数を用いて解くことで、単位のコンact表現を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Buchmann のアルゴリズムが、類群と正規化を計算するために、Arakelov 理論の枠組みの中でどのように自然に解釈できるか。
• RQ2 削減された Arakelov 除数が、数体のインフラストラクチャにおいて果たす正確な役割は何か。
• RQ3 向き付けられた Arakelov 類群を用いて、正規化の代わりに基本単位を計算することは可能か。
• RQ4 Arakelov 除数と格子削減の観点から、Buchmann のアルゴリズムの計算量はどの程度か。
• RQ5 絶対値と埋め込みの近似から、基本単位をどのように再構成できるか。

主な発見

• Buchmann のアルゴリズムは、自然に Arakelov 類群 $\mathrm{Pic}_F^0$ 上で動作し、実二次体において Shanks と Lenstra のインフラストラクチャはこの群と同型である。
• 削減された Arakelov 除数の集合は、$\mathrm{Pic}_F^0$ の有限で計算可能な基本領域を形成し、アルゴリズム的計算を可能にする。
• アルゴリズムは部分指数的時間 $O(\exp(\sqrt{\log|\Delta_F|} \log\log|\Delta_F|))$ で動作し、主な計算ステップは主除数の計算である。
• 向き付けられた Arakelov 類群を用いることで、基本単位 $\varepsilon$ の $\sigma(\varepsilon)$ への近似が可能になり、単位群の再構成が可能になる。
• 有界サイズの要素と対数的数のジャンプを用いることで、基本単位のコンact表現は時間 $O((\log|\Delta_F|)^{O(1)})$ で計算可能である。
• Arakelov 類群の体積はステップ1で推定され、計算された部分群 $H'$ の正しさは、$\mathrm{Pic}_F^0$ の推定体積との比較によって検証される。