[論文レビュー] Computing bounded-width tree and branch decompositions of k-outerplanar graphs

Ioannis Katsikarelis|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、幅が有界なk-外部平面グラフの木分解およびブランチ分解をO(kn)時間で計算する効率的なアルゴリズムを提示する。木幅は3k−1以下、ブランチ幅は2k+1以下である。ボドラーデンの理論的上限をアルゴリズム的に実装し、平面グラフにおける動的計画法の実用的応用を可能にする。

ABSTRACT

By a well known result the treewidth of k-outerplanar graphs is at most 3k-1. This paper gives, besides a rigorous proof of this fact, an algorithmic implementation of the proof, i.e. it is shown that, given a k-outerplanar graph G, a tree decomposition of G of width at most 3k-1 can be found in O(kn) time and space. Similarly, a branch decomposition of a k-outerplanar graph of width at most 2k+1 can be also obtained in O(kn) time, the algorithm for which is also analyzed.

研究の動機と目的

• k-外部平面グラフの木幅に関するボドラーデンの理論的上限を、厳密でアルゴリズム的な実装を提供すること。
• 任意のk-外部平面グラフに対して、幅が3k−1以下の線形時間アルゴリズムを設計すること。
• この手法を拡張し、幅が2k+1以下のブランチ分解をO(n)時間で計算すること。
• k-外部平面グラフの木幅およびブランチ幅に関する上界がタイトであることを示すこと。
• 効率的な分解アルゴリズムを提供することで、k-外部平面グラフにおける動的計画法の実用的応用を可能にすること。

提案手法

• ボドラーデンの構成的証明を活用し、k-外部平面グラフの木分解のアルゴリズム的手順を導出する。
• 入力グラフGの3次元制限付きマイナーHの最大スパニングフォレストTを用い、エッジランクer(G,T) ≤ 2kを計算する。
• スパニングフォレストの変換によりブランチ分解を構築し、幅がmax{2, er(G,T)+1}で抑えられることを保証する。
• マイナー性の性質を適用：GがHのマイナーであれば、branchwidth(G) ≤ branchwidth(H)であるため、HからGへの境界の転送を行う。
• 外部平面レイヤーに基づく再帰的分解戦略を用い、平面性および埋め込み構造を活用する。
• グラフの辺から二分木のリーフへの一対一対応σを用い、ブランチ分解を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボドラーデンの理論的上限3k−1が、k-外部平面グラフの木幅に関して効率的なアルゴリズムとして実装可能か？
• RQ2 k-外部平面グラフに対して、幅が3k−1以下の木分解を計算する計算量的複雑度は何か？
• RQ3 同様のアプローチを用いて、線形時間で幅が2k+1以下のブランチ分解を計算可能か？
• RQ4 k-外部平面グラフの木幅に関する上限3k−1はタイトか？
• RQ5 k-外部平面分解を介して、分解アルゴリズムを一般の平面グラフに拡張可能か？

主な発見

• O(kn)時間のアルゴリズムにより、任意のk-外部平面グラフに対して、幅が3k−1以下の木分解が計算可能である。
• O(n)時間のアルゴリズムにより、任意のk-外部平面グラフに対して、幅が2k+1以下のブランチ分解が計算可能である。
• k-外部平面グラフの木幅に関する上限3k−1はタイトであり、この上限に達するk-外部平面グラフが存在する。
• k-外部平面グラフのブランチ幅に関する上限2k+1はタイトであり、提案されたアルゴリズムによって達成可能である。
• 分解のアルゴリズム的構成は、入力グラフGの3次元制限付きマイナーHに依存し、ある最大スパニングフォレストTに対してer(H,T) ≤ 2kを満たす。
• Gのブランチ幅はそのマイナーHのブランチ幅によって抑えられ、アルゴリズムはこの境界が2k+1以下であることを保証する。