[論文レビュー] Computing control invariant sets in high dimension is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Advanced Control Systems Optimization参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、高次元線形システムにおける制御不変集合の計算のための新規手法を提示する。不変性条件をNステップ集合を含む線形計画法（LP）の可解性問題として定式化することで、計算コストの高いミンコフスキー和や頂点列挙を回避する。この手法により、30状態・15入力のシステムですらも、スケーラブルかつ効率的な近似計算が可能となり、数値例を通じて低保守性と高いスケーラビリティを示した。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled high-dimensional systems with constraints on the input and on the states. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and vertices enumeration and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing approximations of the maximal control invariant set, based on the 10-step operator, for a system whose state and input dimensions are 30 and 15, respectively.

研究の動機と目的

• 状態制約および入力制約を伴う高次元線形システムにおける制御不変集合の計算の計算不能性に対処すること。
• 次元数の増加に伴いスケーリングが著しく劣化する、ミンコフスキー和や頂点列挙に基づく従来手法の限界を克服すること。
• 多面体集合やその頂点の明示的計算を避ける、制御不変性の集合包含条件の構築。
• 凸最適化を用いて高次元システムにおける制御不変集合の実用的計算を可能とすること。
• 30状態・15入力システムを対象として、本手法のスケーラビリティと低保守性を実証すること。

提案手法

• 制御不変性をNステップ到達可能集合を含む集合包含条件として定式化し、明示的なミンコフスキー和の計算を回避する。
• 不変性条件を線形計画法（LP）の可解性問題として表現し、高次元でも効率的に解けるようにする。
• 10ステップ集合に基づくNステップ作用素を用いて、最大制御不変集合の近似を実現する。
• 多面体制約の構造を活用し、不等式を直接操作することで頂点列挙を回避する。
• 非特異変換を用いて30次元システムを15個の2次元独立部分系に分解し、適用する。
• 得られた不変集合を2次元不変集合のカルテジアン積として計算し、元の座標系に変換して再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミンコフスキー和や頂点列挙に依存せずに、高次元線形システムにおける制御不変集合を効率的に計算できるか。
• RQ2 制御不変性条件を、次元数が高くなるに従ってスケーラブルな凸最適化問題として定式化できるか。
• RQ3 Nステップ作用素法による近似の品質は、高次元システムにおける真の最大制御不変集合と比較してどの程度か。
• RQ4 本手法は、完全に密行列を有するシステムやスパarsity構造を持たないシステムにも適用可能か。
• RQ5 Nステップ作用素におけるNの増加に伴う、LPベースのアプローチの収束特性と保守性はいかなるものか。

主な発見

• 提案手法は、LPの可解性問題として制御不変集合を計算し、30状態・15入力システムを含む高次元システムでも効率的な計算を可能にした。
• ミンコフスキー和や頂点列挙のNP困難性を回避することで、高次元へのスケーラビリティが実現された。
• 30次元システムにおいて、N=10のときのrΩ/rΣ ≈ 0.95（平均）の比を達成し、真の最大不変集合に非常に近い近似が得られた。
• 原点を初期化点として用いた場合、最大制御不変集合へ内部から収束し、最大5イテレーションで収束が確認された。
• レイトレース交差解析により確認されたように、本手法は低保守性を示し、真の最大不変集合の大部分をカバーすることができた。