[論文レビュー] Computing control invariant sets is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Aerospace Engineering and Control Systems被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、線形システムの状態制約および入力制約を満たす制御不変集合を計算するための新規手法を提示する。Nステップ先の集合包含条件を、計算コストの高いミンコフスキー和を避ける形で線形計画法（LP）の可解性問題に再定式化することで、実装が容易な方法を提供する。この手法により、高次元の制御不変集合を効率的かつスケーラブルに計算可能となり、15ステップの予測ホライズンを用いて20状態・10入力のシステムの最大不変集合を2秒未塔で近似することに成功した。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled systems with constraints on the input and on the states. We focus in particular on the complexity of the computation of the N-step operator, given by the Minkowski addition of sets, that is the basis of many of the iterative procedures for obtaining control invariant sets. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions are employed in algorithms based on LP problems that allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing in less than two seconds an approximation of the maximal control invariant set, based on the 15-step operator, for a system whose state and input dimensions are 20 and 10 respectively.

研究の動機と目的

• 高次元線形システムにおけるNステップ制御不変集合の計算に伴うミンコフスキー和の明示的計算の計算複雑性を低減すること。
• 1ステップ後退作用素およびミンコフスキー和に基づく従来の反復的手法のスケーラビリティの限界を克服すること。
• 明示的な集合加法を避けるが、最大制御不変集合への精度と収束性を保つ手法を開発すること。
• 従来の手法が計算的に非現実的であるため失敗する、例えば20状態・10入力の高次元システムにおいて、制御不変集合計算の実用的応用を可能にすること。
• 既存手法（多面体の複雑度を固定する方法や楕円体近似）に対する、スケーラブルで低過剰性の代替手法を提供すること。

提案手法

• Nステップ到達集合を含む集合包含条件として制御不変性条件を定式化し、明示的なミンコフスキー和の計算を回避する。
• 制御不変性条件を、高次元でも計算可能である線形計画法（LP）の可解性問題として定式化する。
• 制御不変集合をkステップ集合の凸包として構築し、線形不等式の連立系として表現する。
• LPに基づく条件を用いて、全ミンコフスキー和を計算せずに候補集合が制御不変であるかを検証する。
• ブロック対角系の構造を活用して、高次元問題をより小さい管理可能な部分問題に分解する。
• 標準的な最適化ツール（YALMIPおよびMOSEK）を用いて、LP問題を効率的に解くアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御不変集合アルゴリズムにおけるNステップ集合計算の計算複雑性は、明示的なミンコフスキー和評価を避けることで低減可能か？
• RQ2 ミンコフスキー和のNP困難性を回避する集合包含条件を用いて、制御不変性を検証することは可能か？
• RQ3 高次元線形システムにおいて、LPに基づく定式化は、ミンコフスキー和に基づく従来の反復的手法に置き換え可能か？
• RQ4 本手法は、高次元の状態および入力変数を有するシステムに対してどの程度スケーラブルか？
• RQ5 既存手法（楕円体近似や固定複雑度多面体近似）と比較して、本手法はどの程度過剰性を低減するか？

主な発見

• 提案手法は、15ステップの予測ホライズンを用いて、20状態・10入力の線形システムの最大不変集合の外部近似を2秒未塔で計算した。
• LPに基づくアプローチは効率的にスケーリングされ、解法時間はわずかに増加する：N=3では0.9秒、N=15では1.71秒であり、LP変数数（10,002から115,602に）線形増加しているにもかかわらず。
• 外部近似と真の最大不変集合との比（rΩ/rΣ）は、Nが増加するにつれて1.0に近づき、低過剰性を示している。例えば、N=15では90%のレイヤーでrΩ/rΣ > 0.9を達成した。
• ミンコフスキー和計算のNP複雑性を回避するため、不変性条件をLP可解性問題に再定式化した。
• ブロック対角系の性質を活かし、10×2Dのブロック対角系において、最大不変集合が部分系の集合のカルテシアン積に等しいことから、高次元システムへの適用が可能であることを示した。
• アルゴリズムは原点を初期点として、内部から最大制御不変集合に収束し、LP定式化により計算の tractability を維持している。