[論文レビュー] Computing Critical Pairs in 2-Dimensional Rewriting Systems

Samuel Mimram|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

semigroups and automata theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元の書き換え系、特に2カテゴリを提示する3ポリグラフに対して、臨界対を計算するための新規アルゴリズムを提示する。モノイダル圏におけるコンパクトな文脈に統一技術を適応させることで、有限時間内にすべての臨界対を生成可能となり、高次元の書き換え系における結合性の証明を可能にする。実装されたOCamlコードは、既知の例においてその有効性を示している。

ABSTRACT

Rewriting systems on words are very useful in the study of monoids. In good cases, they give finite presentations of the monoids, allowing their manipulation by a computer. Even better, when the presentation is confluent and terminating, they provide one with a notion of canonical representative for the elements of the presented monoid. Polygraphs are a higher-dimensional generalization of this notion of presentation, from the setting of monoids to the much more general setting of n-categories. Here, we are interested in proving confluence for polygraphs presenting 2-categories, which can be seen as a generalization of term rewriting systems. For this purpose, we propose an adaptation of the usual algorithm for computing critical pairs. Interestingly, this framework is much richer than term rewriting systems and requires the elaboration of a new theoretical framework for representing critical pairs, based on contexts in compact 2-categories.

研究の動機と目的

• 3ポリグラフが2カテゴリを提示する文脈において、項書き換えから2次元書き換え系への古典的臨界対アルゴリズムの拡張を図ること。
• 非カルテシアンなモノイダル構造に起因して、従来の項ベースの手法が失敗する高次元代数的構造における結合性の課題に対処すること。
• 複数の入出力、複写不能な変数、およびストリング図による平面的図式表現を扱える、統一に基づくフレームワークの開発。
• モノイダル圏および関連する代数的構造における結合性の検証の理論的・計算的基盤の提供。
• 対称群や回路型演算子をモデル化するような複雑な書き換え系における結合性の実用的検証の実現。

提案手法

• 書き換え規則を0-、1-、および2-細胞を有するコンパクトな2次元的文脈としてモデル化することで、古典的臨界対計算アルゴリズムを2カテゴリに適応する。
• 1-細胞の境界を越えてマッチング制約を伝搬させ、文脈変数を用いてぶら下がるエッジを処理する非決定的統一アルゴリズムを導入する。
• ラベルおよび巻き数の整合性に基づく失敗条件を備えた、互換性のある1-細胞コンポーネントを統合するマージ操作を用いる。
• 統一の進行を追跡する型システムを採用し、アクティブなペア（T）、統一の結果（U）、および伝搬中に導入された新しい生成子（ω）を区別する。
• ストリング図およびコンパクトネットを用いて射を表現し、書き換えステップおよび文脈構造を視覚化する。
• 2000行未満のOCamlコードで実装し、有限双射のカテゴリの提示など、既知の例から臨界対を正常に回復した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数を自由に複写または消去できない2次元書き換え系において、臨界対を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 3ポリグラフが2カテゴリを提示する文脈において、項書き換えの統一に基づく臨界対アルゴリズムの適切な一般化は何か？
• RQ3 モノイダル圏におけるコンパクトな文脈を、結合性の情報を保持したまま臨界対を表現および計算するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 アルゴリズムが停止し、すべての臨界対を生成する理論的および計算的条件は何か？
• RQ5 コンパクトな文脈における結合性が、全2カテゴリにおける結合性を意味する程度は何か？また、その場合に失敗する可能性がある状況は何か？

主な発見

• アルゴリズムは停止し、コンパクトな文脈におけるすべての臨界対を生成する。全2カテゴリにおける臨界対の無限性にもかかわらず、コンパクトな文脈における臨界対の数は有限である。
• 本手法は、有限双射のカテゴリの提示など、既知の書き換え系における臨界対を正常に回復した。
• 典型的な例では、OCamlでの実装が1秒未塔で実行され、理論的複雑性にかかわらず良好な実用的性能を示している。
• 文脈に依存する統一により、複写可能な変数と非複写可能な変数を区別することで、非カルテシアンなモノイダル構造を正しく処理した。
• 臨界対は、1-細胞コンポーネントの非決定的伝搬およびマージにより計算され、ラベルおよび巻き数の不一致に基づく失敗条件が設定されている。
• フレームワークは、コンパクトな文脈における結合性が、全2カテゴリにおける結合性を意味しないことを明らかにした。これは、明示的置換を伴うラムダ計算における既知の現象と一致する。