[論文レビュー] Computing Dense and Sparse Subgraphs of Weakly Closed Graphs

Tomohiro Koana, Christian Komusiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、退化性や閉包性を一般化するクラスである弱γ閉グラフにおける、密集および疎な部分グラフを探索する固定パラメータ tractable (FPT) アルゴリズムを導入する。クリーク列挙、二部クリーク検出、s-プレックス、支配集合の変種といった問題は、パラメータγに関してFPTであることが示され、効率的なカーネル化と改善された実行時間が得られる一方で、独立支配集合に対するカーネル下界も証明している。

ABSTRACT

A graph G is weakly γ-closed if every induced subgraph of G contains one vertex v such that for each non-neighbor u of v it holds that |N(u)∩ N(v)| < γ. The weak closure γ(G) of a graph, recently introduced by Fox et al. [SIAM J. Comp. 2020], is the smallest number such that G is weakly γ-closed. This graph parameter is never larger than the degeneracy (plus one) and can be significantly smaller. Extending the work of Fox et al. [SIAM J. Comp. 2020] on clique enumeration, we show that several problems related to finding dense subgraphs, such as the enumeration of bicliques and s-plexes, are fixed-parameter tractable with respect to γ(G). Moreover, we show that the problem of determining whether a weakly γ-closed graph G has a subgraph on at least k vertices that belongs to a graph class 𝒢 which is closed under taking subgraphs admits a kernel with at most γ k² vertices. Finally, we provide fixed-parameter algorithms for Independent Dominating Set and Dominating Clique when parameterized by γ+k where k is the solution size.

研究の動機と目的

• 弱γ閉グラフのアルゴリズム的有用性をクリーク列挙を超えて、より広範な密集および疎な部分グラフ問題のクラスへと拡張すること。
• 独立支配集合、支配クリーク、および二部クリーク列挙といった主要なNP困難問題がγパラメータに関してFPTであることを確立すること。
• 誘導部分グラフに関して閉じた部分グラフ問題に対して、γおよび解のサイズkをパラメータとして、タイトな境界を持つカーネル化結果を提供すること。
• カーネル化の限界を調査し、標準的仮定のもとで、独立支配集合は定数γに対して多項式カーネルをもたないことを示すこと。
• 特にs ≥ 2の場合に、弱閉グラフにおけるs-クラブのようなクリーク緩和の複雑さを調査すること。

提案手法

• 任意の非隣接頂点に対して、その誘導部分グラフに属するすべての頂点がγ未満の共通の隣接頂点数を持つことを保証する弱閉じる順序σを提案する。
• 各ノードあたりの分岐次数が最大γ−1である再帰的探索木アルゴリズムを設計し、支配クリーク問題に対してO*( (γ−1)^k )の実行時間となる。
• 弱閉じる性質に基づくプルーニングを施した深さ制限付き探索木を用いて、クリークやs-プレックスのような密集部分グラフを効率的に列挙する。
• 誘導部分グラフに関して閉じた部分グラフ問題のインスタンスを、最大γk²個の頂点にまでカーネル化する技術を適用する。
• λ-ヒッティングセットへの還元を活用し、標準的複雑性仮定のもとで、独立支配集合に対するカーネル下界を証明する。
• 弱閉グラフにおけるs-クラブ問題の複雑さを分析し、4-閉グラフでさえも2-クラブ問題がNP困難であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密集または疎な部分グラフを探索する問題は、弱γ閉グラフにおいて効率的に解けるか。そのパラメータ化された複雑度はγに関してどうなるか。
• RQ2 弱閉じるパラメータγは、独立支配集合や支配クリークといった問題に対してカーネル化を可能にするか。そのカーネルの限界は何か。
• RQ3 s-クラブのようなクリーク緩和問題は、特に小さなsに対して弱γ閉グラフにおいてFPTであるか。
• RQ4 弱閉じるパララメータγは、退化性や閉包数よりも、二部クリークやs-プレックス列挙のための高速アルゴリズム設計に有効に使えるか。
• RQ5 弱γ閉グラフにおける誘導部分グラフに関して閉じた部分グラフ問題の、可能な限りタイトなカーネルサイズは何か。

主な発見

• 任意の遺伝的グラフクラスGに属する少なくともk個の頂点を持つ部分グラフを探索する問題は、γおよびkをパラメータとして、最大γk²個の頂点にカーネル化可能である。
• 支配クリーク問題は、O*( (γ−1)^k )の実行時間を持つFPTアルゴリズムを有するが、指数時間仮説のもとではこれ以上改善され unlikely である。
• 定数γに対して独立支配集合は多項式カーネルをもたない（coNP ⊆ NP/polyでない限り）、カーネル化における本質的限界を示している。
• 2-クラブ問題は4-閉グラフでさえもNP困難であるため、クリーク緩和問題は弱閉グラフにおいても依然として困難であると考えられる。
• 弱閉じる数γは、常に退化性d+1や閉包数c未満であるため、アルゴリズム設計においてより優れたパラメータである可能性がある。
• スプリットグラフやクリークサイズが有界なグラフでは、それぞれk^O(γ)およびk^O(γ²)のほぼタイトなカーネルが既知であり、さらなるカーネル化結果の可能性を示唆している。