[論文レビュー] Computing directed path-width and directed tree-width of recursively defined digraphs

Frank Gurski, Carolin Rehs|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、直列に定義された有向グラフ、特に有向コグラフを含む有向グラフに対して、直列的分解規則（素 disjoint 和、順序合成、有向和、系列合成）を用いて、有向パス幅と有向木幅が等しいことを構成的証明することで、線形時間でこれらの幅を計算するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、無向コグラフにおける既知の結果を有向設定に一般化し、広範な有向グラフクラスに対して効率的な計算を可能にすることである。

ABSTRACT

In this paper we consider the directed path-width and directed tree-width of recursively defined digraphs. As an important combinatorial tool, we show how the directed path-width and the directed tree-width can be computed for the disjoint union, order composition, directed union, and series composition of two directed graphs. These results imply the equality of directed path-width and directed tree-width for all digraphs which can be defined by these four operations. This allows us to show a linear-time solution for computing the directed path-width and directed tree-width of all these digraphs. Since directed co-graphs are precisely those digraphs which can be defined by the disjoint union, order composition, and series composition our results imply the equality of directed path-width and directed tree-width for directed co-graphs and also a linear-time solution for computing the directed path-width and directed tree-width of directed co-graphs, which generalizes the known results for undirected co-graphs of Bodlaender and Moehring.

研究の動機と目的

• 無向コグラフにおけるパス幅と木幅の等価性を有向設定に拡張すること。
• 再帰的に定義された有向グラフにおける有向パス幅と有向木幅を計算する構成的手法を開発すること。
• 無向コグラフからの結果を有向コグラフおよび拡張された有向コグラフに一般化すること。
• 有向コグラフにおけるこれらの幅パラメータを線形時間で計算するアルゴリズムを提供すること。
• 分解操作を用いた有向グラフにおける幅パラメータの理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 本稿では、有向グラフに対して、素 disjoint 和、順序合成、有向和、系列合成の4つの操作を定義し、それらを用いて複雑な有向グラフを再帰的に構築する。
• 各操作について、結果として得られる有向グラフの有向パス幅と有向木幅が、成分の有向グラフのパラメータから計算可能であることを証明する。
• 成分の有向パス分解と有向木分解から、有向パス分解と有向木分解を構成するための構成的証明を提示する。
• 分解規則を支援するために、双方向完全部分有向グラフと二部有向部分グラフの補題を導入する。
• 4つの操作によって定義されるすべての有向グラフに対して、有向パス幅と有向木幅が等しいことを確立する。
• 有向コグラフおよび拡張された有向コグラフに対して、それらが4つの操作に関して閉じていることを示すことにより、この手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解規則を用いて、再帰的に定義された有向グラフに対して、有向パス幅と有向木幅を効率的に計算できるか。
• RQ2 素 disjoint 和、順序合成、有向和、系列合成を用いて構築された有向グラフに対しても、有向パス幅と有向木幅は等しいままであるか。
• RQ3 有向コグラフにおいても、無向コグラフの結果を一般化したように、有向パス幅と有向木幅の等価性が保たれるか。
• RQ4 有向コグラフにおける両方の幅パラメータを線形時間で計算するアルゴリズムを構築できるか。
• RQ5 有向グラフの幅パラメータは、その強連結成分および非巡回縮約グラフのそれらとどのように関係するか。

主な発見

• 素 disjoint 和、順序合成、有向和、系列合成によって構築可能なすべての有向グラフについて、有向パス幅と有向木幅は等しい。
• このような有向グラフ、特に有向コグラフにおいて、有向パス幅と有向木幅を計算する線形時間アルゴリズムが存在する。
• 有向コグラフでは、有向パス幅と有向木幅は、最大のバイオリエンテッドクリークのサイズから1を引いた値に等しい。
• 一般の有向グラフの有向パス幅と有向木幅は、その強連結成分におけるこれらのパラメータの最大値によって上界が与えられる。
• BodlaenderとMöhriの無向コグラフに関する先行研究を一般化し、パス幅と木幅の等価性を有向ケースに拡張した。
• 本アプローチは、分解に空集合を許容する定義を除き、有向木幅の異なる定義に対しても頑健であるが、Reedの定義では値が高くなる可能性がある。