[論文レビュー] Computing downward closures for stacked counter automata

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2014

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スタックドカウンタオートマトン（スタックとブラインドカウンタを備えたオートマトンのクラス）の言語のすべての部分語を含む正則な抽象化であるダウンワードクロเจอチャーを計算する手法を提示する。主な貢献は、パーシュ・アノテーションと呼ばれる新技術の導入であり、これはダウンワードクロージャーの有効な計算と、交互に配置された半線形制約と代数的拡張によって形成される言語階層の厳密性の証明を可能にする。

ABSTRACT

The downward closure of a language $L$ of words is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of members of $L$. It is well known that the downward closure of any language is regular. Although the downward closure seems to be a promising abstraction, there are only few language classes for which an automaton for the downward closure is known to be computable. It is shown here that for stacked counter automata, the downward closure is computable. Stacked counter automata are finite automata with a storage mechanism obtained by \emph{adding blind counters} and \emph{building stacks}. Hence, they generalize pushdown and blind counter automata. The class of languages accepted by these automata are precisely those in the hierarchy obtained from the context-free languages by alternating two closure operators: imposing semilinear constraints and taking the algebraic extension. The main tool for computing downward closures is the new concept of Parikh annotations. As a second application of Parikh annotations, it is shown that the hierarchy above is strict at every level.

研究の動機と目的

• 一般に決定不能であるため、このような計算が通常可能でない複雑なオートマトンクラスにおけるダウンワードクロージャーの計算という課題に対処すること。
• スタックドカウンタオートマトン（プッシュダウンオートマトンおよびブラインドカウンタオートマトンを一般化するクラス）におけるダウンワードクロージャーが計算可能であることを確立すること。
• 提案手法を用いて、交互に配置された半線形制約と代数的拡張によって形成される言語階層の各レベルで厳密であることを示すこと。
• 形式的言語理論におけるダウンワードクロージャーの解析と計算に用いる新しい理論的ツール「パーシュ・アノテーション」を提供すること。

提案手法

• 複雑なストレージ構造を有するオートマトンにおける語のパーシュ・イメージを追跡・操作するためのパーシュ・アノテーションを導入する。
• パーシュ・アノテーションを用いて、スタックドカウンタオートマトンが受理する言語のダウンワードクロージャーを表す有限オートマトンを構築する。
• パーシュ・アノテーションの概念を応用し、交互に配置された半線形制約と代数的拡張によって形成される言語階層が、各レベルで厳密であることを証明する。
• 変形木の有界性とモルフィズムを用いて、関連する文法における導出構造を分析する。
• 言語クラスの閉包性（特に和集合閉包性およびフル・セミAFL性）を活用し、背理法による証明で矛盾を導出する。
• k-バースト文法の概念を用いて、導出木の構造とパーシュ・イメージとの関係を関係づけ、語生成に制約を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタックドカウンタオートマトン（ネストされたスタックとブラインドカウンタを備えたオートマトンのクラス）に対して、ダウンワードクロージャーは有効に計算可能か？
• RQ2 交互に配置された半線形制約と代数的拡張によって形成される言語階層は、各レベルで厳密か？
• RQ3 パーシュ・アノテーションは、形式的言語クラスにおけるダウンワードクロージャーの解析と計算に一般化可能なツールとして用いることができるか？
• RQ4 この階層に属する言語の文法における導出木の構造とパーシュ・イメージの関係は何か？
• RQ5 関連するシステムにおける到達可能性の決定不能性にもかかわらず、ダウンワードクロージャーが計算可能な言語クラスは存在するか？

主な発見

• スタックドカウンタオートマトンにおけるダウンワードクロージャーは計算可能であり、文脈自由言語およびペトリネット言語に対する既知の結果を拡張する。
• パーシュ・アノテーションは、複雑なストレージ機構を有するオートマトンにおけるダウンワードクロージャーの計算に、新規かつ効果的な手法を提供する。
• 交互に配置された半線形制約と代数的拡張によって形成される言語階層は、パーシュ・アノテーションを用いた証明により、各レベルで厳密である。
• 任意の言語のダウンワードクロージャーは正則であるが、本論文ではスタックドカウンタオートマトンに対して、このクロージャーを表す有限オートマトンを有効に構築できることを示す。
• 厳密性の証明は、低レベルの階層では捉えきれない言語を構築することに依拠しており、導出木の性質とパーシュ・イメージの制約を利用する。
• この手法により、特定の部分アルファベットおよびモルフィズムに制限された場合でさえも、階層の下位レベルの文法では生成できない言語が存在することが示された。