[論文レビュー] Computing eigenvalues of diagonalizable matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子位相推定、量子ODE解法、量子特異値推定を用いて、実または複素固有値をもつ対角化可能な行列の固有値を計算する2つの量子アルゴリズムを提示する。アルゴリズムは精度εで固有値と固有ベクトルの重ね合わせを出力し、実固有値をもつ対角化可能な行列に対しては複雑度𝒪̃(sρ²κ²/ε²)、正規行列に対しては𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)を達成する。ここでsはスパarsity、ρは固有値の上限、κは条件数を表す。

ABSTRACT

Solving linear systems and computing eigenvalues are two fundamental problems in linear algebra. For solving linear systems, many efficient quantum algorithms have been discovered. For computing eigenvalues, currently, we have efficient quantum algorithms for Hermitian and unitary matrices. However, the general case is far from fully understood. Combining quantum phase estimation, quantum algorithm to solve linear differential equations and quantum singular value estimation, we propose two quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The output of the quantum algorithms is a superposition of the eigenvalues and the corresponding eigenvectors. The complexities are dominated by solving a linear system of ODEs and performing quantum singular value estimation, which usually can be solved efficiently in a quantum computer. In the special case when the matrix $M$ is $s$-sparse, the complexity is $\widetilde{O}(sρ^2 κ^2/ε^2)$ for diagonalizable matrices that only have real eigenvalues, and $\widetilde{O}(sρ\|M\|_{\max} /ε^2)$ for normal matrices. Here $ρ$ is an upper bound of the eigenvalues, $κ$ is the conditioning of the eigenvalue problem, and $ε$ is the precision to approximate the eigenvalues. We also extend the quantum algorithm to diagonalizable matrices with complex eigenvalues under an extra assumption.

研究の動機と目的

• 一般の対角化可能な行列の固有値を効率的に計算する量子アルゴリズムを開発すること。ヒルベルト行列やユニタリ行列のケースを超えて拡張すること。
• 非エルミート行列、特に正規でないが対角化可能な行列に対する量子アルゴリズムのギャップを埋めること。
• 量子固有値分解を固有対の重ね合わせとして実現し、行列関数の量子評価を可能にすること。
• スパース行列にスケーラブルな複雑度で高精度の固有値推定を達成すること。
• 固有ベクトル行列の条件数に関する追加仮定の下で、複素固有値をもつ行列への結果の拡張を図ること。

提案手法

• ハミルトニアンシミュレーションの代わりにODEシミュレーションを用いて、非エルミート行列に対応するように量子位相推定（QPE）の枠組みを変更する。
• 線形ODE系を解くための量子アルゴリズムを用い、ODE d𝐱(t)/dt = iM𝐱(t) を線形系に離散化する。
• ODE系の解から固有値情報を抽出するために量子特異値推定（QSVE）を適用する。
• ODE解と位相推定技術を組み合わせることで、固有値と固有ベクトルをエンコードした量子状態を構築する。
• ブロックエンコーディングとスパース行列アクセスを用いて、sスパース行列に対して効率的な実装を達成する。
• 複素固有値への拡張を可能にするために、固有ベクトル行列の条件数に関する補助的仮定を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミートかつユニタリでもない対角化可能な行列の固有値を、量子アルゴリズムが効率的に計算できるか？
• RQ2 e^{iMt} がユニタリでない場合、非エルミート行列に対して量子位相推定をどのように適応できるか？
• RQ3 量子ODE解法とQSVEを用いた実固有値をもつ対角化可能な行列の固有値計算の複雑度は何か？
• RQ4 このアプローチは正規行列および複素固有値をもつ対角化可能な行列へ拡張可能か？
• RQ5 このアルゴリズムのスケーリングは、スパarsity、固有値の大きさ、条件数、精度に関してどのように変化するか？

主な発見

• sスパースで実固有値のみをもつ対角化可能な行列に対して、複雑度𝒪̃(sρ²κ²/ε²)を達成する。ここでρは固有値の上限、κは固有値問題の条件数を表す。
• 正規行列に対しては複雑度𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)であり、スペクトルノルムに改善された依存関係を示す。
• アルゴリズムは状態∑ⱼ βⱼ |λ̃ⱼ⟩|Eⱼ⟩を出力し、|λⱼ - λ̃ⱼ| ≤ εを満たすため、高精度な固有値推定が可能になる。
• ハミルトニアンシミュレーションの代わりにODEシミュレーションを用いることで、非エルミート行列への量子位相推定の一般化が達成される。
• 固有対が重ね合わせで得られた場合、f(M)|b⟩ = ∑ⱼ βⱼ f(λⱼ)|Eⱼ⟩ として、行列関数の量子評価が可能になる。
• 固有ベクトル行列の条件数に関する追加仮定の下で、複素固有値をもつ対角化可能な行列への拡張が可能になる。