[論文レビュー] Computing endomorphism rings of Jacobians of genus 2 curves over finite fields

David Freeman, Kristin Lauter|ArXiv.org|Jan 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体上の genus 2 曲線のヤコビアンの自己準同型環を計算するための効率的な確率的アルゴリズムを提示し、Eisenträger と Lauter のイグザクラス多項式を計算する中国剰余定理（CRT）法の初の実用的実装を可能にした。驚くべきことに、自己準同型環の計算はボトルネックでないことが判明した—Mestre のアルゴリズムによる $p^3$ 個の曲線の生成が実行時間の大部分を占めており、数千の曲線に対しても自己準同型チェックは数秒で完了した。

ABSTRACT

We present algorithms which, given a genus 2 curve $C$ defined over a finite field and a quartic CM field $K$, determine whether the endomorphism ring of the Jacobian $J$ of $C$ is the full ring of integers in $K$. In particular, we present probabilistic algorithms for computing the field of definition of, and the action of Frobenius on, the subgroups $J[\ell^d]$ for prime powers $\ell^d$. We use these algorithms to create the first implementation of Eisenträger and Lauter's algorithm for computing Igusa class polynomials via the Chinese Remainder Theorem \cite{el}, and we demonstrate the algorithm for a few small examples. We observe that in practice the running time of the CRT algorithm is dominated not by the endomorphism ring computation but rather by the need to compute $p^3$ curves for many small primes $p$.

研究の動機と目的

• 有限体上の genus 2 曲線のヤコビアンの自己準同型環を計算する実用的なアルゴリズムを開発すること。
• Eisenträger と Lauter の CRT を用いたイグザクラス多項式計算アルゴリズムを実装およびテストすること。
• genus 2 クラス多項式計算における自己準同型環計算がパフォーマンスのボトルネックになるとされてきた長年の仮定を解消すること。
• 実際の計算において、自己準同型環のチェックではなく、曲線生成が実行時間の主因であることを示すこと。

提案手法

• 与えられた原始的四次 CM 領域 $K$ の整数環がヤコビアンの自己準同型環に一致するかどうかをテストするための確率的アルゴリズムを用いる。
• 各曲線に対して、フロベニウス自己準同型とその複素共役（Verschiebung）を特定し、候補となる自己準同型を同定する。
• 要素 $\alpha_i$ を $\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ または $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$ の形で構成し、ここで $h_i$ は立方多項式である。これらの要素によって $\mathcal{O}_K$ が生成されることを確認する。
• 各 $\alpha_i$ が自己準同型であるかどうかを、$J[\ell^d]$ の定義体を計算し、$\ell$- torsion 点への作用を検証することでテストする。
• Algorithm 4.3 と 5.1 を適用し、$J(\mathbb{F}_{p^k})$ 上での点数えを用いて、$\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ および $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$ が自己準同型であるかどうかを判定する。
• 中国剰余定理を用いて、複数の素数 $p$ における mod $p$ データからイグザクラス多項式を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 の CRT 法によるイグザクラス多項式計算において、自己準同型環の計算が主なボトルネックであるか？
• RQ2 確率的アルゴリズムは、原始的四次 CM 領域 $K$ の整数環がヤコビアンの自己準同型環に一致するかどうかを効率的に判定できるか？
• RQ3 CRT 法における自己準同型環計算の実行時間と曲線生成ステップの実行時間は、どのように比較されるか？
• RQ4 $J[\ell^d]$ の定義体は、自己準同型構造の検証において果たす役割は何か？
• RQ5 特に $k$ が $\ell^3$ ではなく $\ell^2$ に制限される場合に、Algorithm 4.3 と 5.1 の理論的および実際の実行時間は $\ell$ と $k$ に対してどのようにスケーリングするか？

主な発見

• $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{13+2\sqrt{13}})$ および $p=157$ の場合、$157^3$ 個の曲線の生成に約 52 分を要したが、243 個の曲線の自己準同型環の検証にはたった 16.5 秒であった。
• $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{29+2\sqrt{29}})$ および $\lambda_i = 5^{12}$ の例では、全アルゴリズムの実行時間は 56,585 秒（約 15.7 時間）であった。曲線生成と自己準同型チェックの両方が重要な貢献をした。
• 自己準同型環計算のステップは、曲線生成に比べて無視できるほど小さく、$p=157$ の場合、曲線生成に 3147 秒、自己準同型チェックに 16.5 秒を要した。
• $p=199$ の場合、曲線生成に 106 分、自己準同型チェックに 1355.3 秒を要した。これは、曲線生成が依然として主なコスト要因であることを示している。
• 理論的解析により、分解または分岐する素数 $\ell$ を除外した場合、$k$ を $\ell^3$ から $\ell^2$ に減らすことにより、Algorithm 4.3 と 5.1 の実行時間は $O(p^{12}\log^3 p)$ から $O(p^8\log^3 p)$ に改善される。
• データから、指数 $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\pi, \overline{\pi}]]$ を割る奇素数は、$K_0$ で分裂するか、または指数 $[\mathcal{O}_{K_0} : \mathbb{Z}[\pi + \overline{\pi}]]$ を割るため、非分岐または完全に分岐しているとは限らないことが示唆された。