[論文レビュー] Computing Euler obstruction functions using maximum likelihood degrees

Jose Israel Rodriguez, Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大尤度次数（MLdeg）を用いて、複素代数的多様体のオイラー直線関数を計算する数値的アルゴリズムを導入する。新しい不変量である最大尤度直線関数を定義することで、それがオイラー直線関数と一致することを証明し、ホモトピー続行法を用いて、ホイットニー分離や包含除法則を必要とせずに、効率的な計算が可能になる。この手法は有効であり、2次ランクの3×3行列など、具体例にも適用されている。

ABSTRACT

We give a numerical algorithm computing Euler obstruction functions using maximum likelihood degrees. The maximum likelihood degree is a well-studied property of a variety in algebraic statistics and computational algebraic geometry. In this article we use this degree to give a new way to compute Euler obstruction functions. We define the maximum likelihood obstruction function and show how it coincides with the Euler obstruction function. With this insight, we are able to bring new tools of computational algebraic geometry to study Euler obstruction functions.

研究の動機と目的

• 複素代数的多様体上の任意の点におけるオイラー直線関数を計算する数値的アルゴリズムを開発すること。
• 従来のグローバルまたは分離定義によるオイラー直線関数の計算の困難さを克服すること。
• 最大尤度次数とオイラー直線関数の間の関係を確立し、それらが等価であることを示すこと。
• 特にホモトピー続行法を含む、数値代数幾何のツールを用いた実用的な計算を可能にすること。
• 座標変換を用いてアフィン多様体へ一般化することにより、非常にアフィンな設定にとどまらない応用範囲の拡張を図ること。

提案手法

• 点 P を通る k−1 個の一般な超平面と X の交わりの最大尤度次数 r_k(P,X) を、k番目の超平面を除いたものとして定義する。
• 最大尤度直線関数 ML_X(P) を、除法最大尤度次数の交錯和として定義する： ML_X(P) = Σ_{k=0}^{d+1} (-1)^{d-k} r_k(P,X)。
• 任意の点 P ∈ X において、ML_X(P) がオイラー直線関数 Eu_X(P) と一致することを証明し、両者の不変量の等価性を確立する。
• 退化点を (C*)^N \ X の一般な初期点から追跡することで、X 上の複数の点における除法最大尤度次数をホモトピー続行法で計算する。
• 一般な超平面および1次形式の選択に対して、退化点の数が一定であり、数値代数幾何学により計算可能であるという事実を活用する。
• 3×3 行列の2次ランク、制約条件 x_11=1 を含む例にこの手法を適用し、さまざまな点における r_k(P,X) を計算し、既知の結果と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイットニー分離や複雑なリンク計算を必要とせずに、オイラー直線関数を数値的に計算できるか？
• RQ2 具体的には、最大尤度直線関数という直接的な代数幾何的不変量が、オイラー直線関数と一致するか？
• RQ3 最大尤度次数を用いて、特異多様体の局所不変量を、数値的に安定的かつ効率的に計算する方法は何か？
• RQ4 ホモトピー続行法を用いて、1つの一般な初期点から始めて、多様体上の複数の点における除法最大尤度次数を追跡して計算できるか？
• RQ5 多様体の最大尤度次数と、特異点および滑らか点におけるオイラー直線関数との関係は何か？

主な発見

• 任意の純次元複素代数的多様体 X 上の任意の点 P に対して、最大尤度直線関数 ML_X(P) がオイラー直線関数 Eu_X(P) と一致することが証明された。
• x_11=1 を条件とする 3×3 行列の2次ランク多様体において、(C*)^9\X に属する一般な点では ML_X(P) の値は 0、滑らかな点では 1、特異点では 2 となり、既知の結果と一致する。
• 一般点 P_0 が X の外にあるとき、除法最大尤度次数 r_k(P,X) は r_k(P_0,X) で上から抑えられ、ホモトピー続行法による効率的計算が可能になる。
• 包含除法則を回避し、ホイットニー分離の明示的知識を必要としないため、計算に対してより実用的である。
• 座標変換を用いることで、この手法はアフィン多様体へ一般化可能であり、例 4.3 でその有効性が示された。
• ホモトピー続行法により、一般点から X 上の点へ退化点を追跡することができ、多様体上の異なる位置における除法最大尤度次数の一貫性が確認された。